Question

蜘蛛和蒼蠅在一個(gè)圓柱面上，這個(gè)圓柱的高為10，底面的半徑為4，如圖所示，AA′、BB′是圓柱的兩條母線，蜘蛛在BB'上的P點(diǎn)，PB′=2，蒼蠅在AA′上的Q點(diǎn)，QA=3，蜘蛛沿圓柱表面爬向蒼蠅，求最短路程為多少？

Answer 1

分析：要求不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩點(diǎn)之間的最短距離，首先要把兩個(gè)點(diǎn)展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi)，然后分析展開(kāi)圖形中的數(shù)據(jù)，根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：解：將曲面沿AA₁展開(kāi)，如圖所示，過(guò)Q作QT⊥BB₁于T，
在Rt△PQT中，∠PTQ=90°，TQ=10-2-3=5（cm），TP=

1

2

×2π×4=4π（cm），
由勾股定理，得PQ=

TQ2+TP2

=

52+16π2

=

25+16π2

（cm）．
答：蜘蛛所走的最短路線是

25+16π2

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開(kāi)--最短路徑問(wèn)題．由于蜘蛛與蒼繩均屬于玻璃容器的外側(cè)，因而蜘蛛不能直接到達(dá)點(diǎn)P，需沿側(cè)面爬行．為此，可將曲面沿AA₁展開(kāi)，顯然蜘蛛所走的最短的路線即為線段PQ，從而可構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求出PQ的長(zhǎng)．