Question

【題目】性質(zhì)探究

如圖①，在等腰三角形中，，則底邊與腰的長(zhǎng)度之比為________．

理解運(yùn)用

⑴若頂角為120°的等腰三角形的周長(zhǎng)為，則它的面積為________；

⑵如圖②，在四邊形中，．

①求證：；

②在邊上分別取中點(diǎn)，連接．若，,直接寫出線段的長(zhǎng)．

類比拓展

頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長(zhǎng)度之比為________（用含的式子表示）．

Answer 1

【答案】性質(zhì)探究：；理解運(yùn)用：（1）；（2）①見解析；②；類比拓展：.

【解析】

性質(zhì)探究：作CD⊥AB于D，則∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CD，AD=CD，得出AB=2AD=2CD，即可得出結(jié)果；

理解運(yùn)用：（1）同上得出則AC=2CD，AD=CD，由等腰三角形的周長(zhǎng)得出4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，得出AB=4，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；

（2）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；

②連接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性質(zhì)得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四邊形內(nèi)角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFH=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出PE=EF=5，PF=PE=5，得出FH=2PF=10，證明MN是△FGH的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)果；

類比拓展：作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，由三角函數(shù)得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出結(jié)果．

性質(zhì)探究

解：作CD⊥AB于D，如圖①所示：

則∠ADC=∠BDC=90°，

∵AC=BC，∠ACB=120°，

∴AD=BD，∠A=∠B=30°，

∴AC=2CD，AD=CD，

∴AB=2AD=2CD，

∴=；

故答案為：；

理解運(yùn)用

（1）解：如圖①所示：

同上得：AC=2CD，AD=CD，

∵AC+BC+AB=8+4，

∴4CD+2CD=8+4，

解得：CD=2，

∴AB=4，

∴△ABC的面積=AB×CD=×4×2=4；

故答案為：4

（2）①證明：∵EF=EG=EH，

∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，

∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；

②解：連接FH，作EP⊥FH于P，如圖②所示：

則PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，

∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，

∵EF=EH，

∴∠EFH=30°，

∴PE=EF=5，

∴PF=PE=5，

∴FH=2PF=10，

∵點(diǎn)M、N分別是FG、GH的中點(diǎn)，

∴MN是△FGH的中位線，

∴MN=FH=5；

類比拓展

解：如圖③所示：作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，

∵sinα=，

∴BD=AB×sinα，

∴BC=2BD=2AB×sinα，

∴=2sinα；

故答案為：2sinα．