Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，點(diǎn)E為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AE的垂線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求∠D的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，求EF的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ADC＝120°；（2）EF＝，（3）有最大值，最大值為：

【解析】

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得AB∥CB，進(jìn)而即可得到答案；

（2）作AH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H，由在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，得A＝，DH＝，結(jié)合勾股定理得AE＝，易證△AEH∽△CEF，得，進(jìn)而即可求解；

（3）作△AFC的外接圓⊙O，作AH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延長(zhǎng)線于P，作MN∥CD交AD的延長(zhǎng)線于N，作NQ⊥CD于Q．易得PA的值最大時(shí)，的值最大，PA的值最大＝AN的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)的定義得DN＝，從而得AN＝AD+DN＝，進(jìn)而即可得到答案．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CB，

∴∠ADC+∠DAB＝180°，

∵∠DAB＝60°，

∴∠ADC＝120°．

（2）作AH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H，如圖1，

∵在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，AD＝2，

∴AH＝ADsin60°＝，DH＝ADcos60°＝，

∵DE＝EC＝，

∴EH＝DH+DE＝2，

∴AE＝，

∵CF⊥AF，

∴∠F＝∠H＝90°，

∵∠AEH＝∠CEF，

∴△AEH∽△CEF，

∴，

∴，

∴EF＝．

（3）如圖2中，作△AFC的外接圓⊙O，作AH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延長(zhǎng)線于P，作MN∥CD交AD的延長(zhǎng)線于N，作NQ⊥CD于Q．

∵DE∥PF，

∴，

∵AD是定值，

∴PA的值最大時(shí)，的值最大，

觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M重合時(shí)，PA的值最大，最大值＝AN的長(zhǎng)，

由（2）可知，AH＝，CH＝，∠H＝90°，

∴AC＝，

∴OM＝AC＝，

∵OK∥AH，AO＝OC，

∴KH＝KC，

∴OK＝＝，

∴MK＝NQ＝﹣，

在Rt△NDQ中，DN＝，

∴AN＝AD+DN＝，

∴的最大值＝＝．