Question

如圖1，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE⊥OF分別交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線AC于P．
（1）①求證：OE=OF；
②寫出線段EF、PC、BC之間的一個(gè)等量關(guān)系式，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)∠EOF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使E、F分別在CD、BC的延長線上，請完成圖形并判斷（1）中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）．

Answer 1

分析：（1）①把OE、OF分別放到兩個(gè)三角形中，證明三角形全等即可．
②找到中間跟三條線段有關(guān)系的線段OE、OP、OC，由線段之間的關(guān)系求解．
（2）畫出圖形，根據(jù)（1）中的求解方法求解，把兩條線段放在兩個(gè)三角形中證明三角形全等以及找到中間的線段求解．

解答：解：（1）①∵OE⊥OF，且正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，
∴∠BOF=∠EOC，OB=OC，∠OBF=∠OCE，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF．
②EF+

2

CP=BC，
證明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分線EP交直線AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∵∠OPE是△CPE的外角，
∴∠OPE=∠PCE+∠CEP=45°+∠CEP，
∵∠OEF=45°，∠OEP=∠OEF+∠FEP=45°+∠FEP
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP．
∵BC=

2

OC=

2

（OP+CP），
∴EF+

2

CP=BC．

（2）①成立．
②不成立應(yīng)為EF-

2

CP=BC．
圖形如圖所示，
證明如下：∠OEP=45°-∠CEP，
又∵∠ECP=90°，
∴∠CQP=∠ECQ+∠CEP=90°+∠CEP．
∵∠QCP=∠BCO=45°，
∴∠P=180°-∠CQP-∠QCP=45°-∠CEP．
∴∠P=∠OEP．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP．
∵BC=

2

OC=

2

（OP-CP），
∴EF-

2

CP=BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，利用正方形的特殊性質(zhì)求解．結(jié)合了三角形全等的問題，并且涉及到探究性的問題，屬于綜合性比較強(qiáng)的問題．要求解此類問題就要對基本的知識(shí)點(diǎn)有很清楚的認(rèn)識(shí)，熟練掌握．