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        1. 14、如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上,連接AE,GC.

          (1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關系,并證明你的結論;
          (2)將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉,使點E落在BC邊上,如圖2,連接AE和GC.你認為(1)中的結論是否還成立?若成立,給出證明;若不成立,請說明理由.
          分析:(1)觀察圖形,AE、CG的位置關系可能是垂直,下面著手證明.由于四邊形ABCD、DEFC都是正方形,易證得△ADE≌△CDG,則∠1=∠2,由于∠2、∠3互余,所以∠1、∠3互余,由此可得AH⊥CG.
          (2)題(1)的結論仍然成立,參照(1)題的解題方法,可證△ADE≌△CDG,得∠5=∠4,由于∠4、∠7互余,而∠5、∠6互余,那么∠6=∠7;由圖知∠AEB=∠CEH=90°-∠6,即∠7+∠CEH=90°,由此得證.
          解答:解(1)答:AE⊥GC;(1分)
          證明:延長GC交AE于點H,
          在正方形ABCD與正方形DEFG中,
          AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°,
          DE=DG,
          ∴△ADE≌△CDG,
          ∴∠1=∠2;(3分)
          ∵∠2+∠3=90°,
          ∴∠1+∠3=90°,
          ∴∠AHG=180°-(∠1+∠3)=180°-90°=90°,
          ∴AE⊥GC.(5分)

          (2)答:成立;(6分)
          證明:延長AE和GC相交于點H,
          在正方形ABCD和正方形DEFG中,
          AD=DC,DE=DG,∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°,
          ∴∠1=∠2=90°-∠3;
          ∴△ADE≌△CDG,
          ∴∠5=∠4;(8分)
          又∵∠5+∠6=90°,∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°,
          ∴∠6=∠7,
          又∵∠6+∠AEB=90°,∠AEB=∠CEH,
          ∴∠CEH+∠7=90°,
          ∴∠EHC=90°,
          ∴AE⊥GC.(10分)
          點評:本題主要考查旋轉的性質以及全等三角形的判定和性質.需要注意的是:旋轉變化前后,對應線段、對應角分別相等,圖形的大小、形狀都不改變.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          作圖題
          (1)如圖1,已知?ABCD兩邊長分別是1和2,一個內角為60°,將?ABCD剪一刀成兩部分,并拼成一個等腰三角形.要求在原圖上畫出剪切線和組成的等腰三角形,并填寫等腰三角形的周長(本題不限作圖工具)
          圖1,周長=
          6
          6
                                
          圖2,周長=
          2+2
          17
          2+2
          17

          (2)如圖2,已知正方形ABCD邊長為2,將正方形剪兩刀成三部分,并拼成一個等腰非直角三角形,要求在原圖上畫出剪切線和拼成的三角形,并填出等腰三角形的周長.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•孝感)如圖1,已知正方形ABCD的邊長為1,點E在邊BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.
          (1)圖1中若點E是邊BC的中點,我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF,請敘述你的一個構造方案,并指出是哪兩個三角形全等(不要求證明);
          (2)如圖2,若點E在線段BC上滑動(不與點B,C重合).
          ①AE=EF是否總成立?請給出證明;
          ②在如圖2的直角坐標系中,當點E滑動到某處時,點F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上,求此時點F的坐標.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          (1)如圖1,已知正方形ABCD與正方形DEFG,點A、D、E三點共線,則S△ADG
          =
          =
          S△DCE(填“>”,“<”或“=”)
          (2)如圖2,將圖1中正方形DEFG繞點D,逆時針轉到如圖的位置,則S△ADG
          =
          =
          S△DCE(填“>”,“<”或“=”)
          請說明理由.
          (3)如圖3,以△ABC三邊向外作三個正方形,分別為正方形AEDC、正方形CFGB正方形ABHK,并且△ABC的邊AC長為5,邊AB長為4,則三角形AKE,三角形CDF,三角形BGH的面積和的最大值為
          30
          30

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖1,已知正方形OABC的邊長為4,等腰直角三角板OEF的直角邊OE、OF分別在OA、OC上,且OE=2.將三角板OEF繞點O逆時針旋轉至OE1F1的位置,旋轉角為α,連接CF1、AE1
          (1)請在圖2中畫出三夾板OEF逆時針旋轉90°時的圖形,并直接判斷此時△OAE1與△OCF1是否全等.
          (2)當0°<α<90°時,∠OAE1與∠OCF1是否總有上述關系并加以證明;
          (3)若三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周,是否存在某一位置,使得OE1∥CF1?若存在,請求出旋轉角α的度數(shù);若不存在,請說明理由.

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          同步練習冊答案