Question

（2012•渝北區(qū)一模）如圖四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM，則下列五個結(jié)論中正確的是（　　）
①若菱形ABCD的邊長為1，則AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S_{四邊形AMBE}=S_{四邊形ADCM}；④連接AN，則AN⊥BE；
⑤當AM+BM+CM的最小值為2

3

時，菱形ABCD的邊長為2．

A．①②③

B．②④⑤

C．①②⑤

D．②③⑤

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據(jù)“兩點之間線段最短”，可得，當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小；
（2）由題意得MB=NB，∠ABN=30°，所以∠EBN=30°，容易證出△AMB≌△ENB；
（3）連接AC，可以得到S_△ABE=S_△ADC，S_△AMB≠S_△AMC，從而可以得出結(jié)論．
（4）假設AN⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得出EN=BN，從而得出結(jié)論．
（5）根據(jù)“兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長，（如圖）作輔助線，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF=60°，設菱形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得菱形的邊長．

解答：解：①連接AC，交BD于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴點A，點C關(guān)于直線BD對稱，
∴M點與O點重合時AM+CM的值最小為AC的值
∵∠ABC=60，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵AB=1，
∴AC=1，
即AM+CM的值最小為1，故本答案正確．
②∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正確．
③∵S_△ABE+S_△ABM=S_{四邊形AMBE}
S_△ACD+S_△AMC=S_{四邊形ADCM}，且S_△AMB≠S_△AMC，
∴S_△ABE+S_△ABM≠S_△ACD+S_△AMC，
∴S_{四邊形AMBE}≠S_{四邊形ADCM}，故本答案錯誤．
④假設AN⊥BE，且AE=AB，
∴AN是BE的垂直平分線，
∴EN=BN=BM=MN，
∴M點與O點重合，
∵條件沒有確定M點與O點重合，故本答案錯誤．
⑤如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．
過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，設菱形的邊長為x，
∴BF=

1

2

x，EF=

3

2

x，在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴(

3

2

x)2+(

1

2

x+x)2=(2

3

)2，解得x=2，故本答案正確．
綜上所述，正確的答案是：①②⑤，
故選C．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題和旋轉(zhuǎn)的問題．