Question

如圖所示，四邊形ABCD是某個圓的圓外切四邊形，已知∠A=∠B=120°，∠D=90°，且BC=1，則AD的長為

 

．

Answer 1

分析：設AH=x，則AE=BE=BF=x，OE=

3

x，即圓的半徑是

3

x，根據(jù)切線長定理發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形ODG，則DG=DH=

3

x．根據(jù)平行線的判定以及切線的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)B，O，G三點共線，從而可用式子表示BG，CG，即可得到AD的長．

解答：解：設⊙O與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F(xiàn)，G，H，
連接OA，OB，OE，OD，OG，OH；
設AH=x，則AE=BE=BF=x，OE=

3

x!，
∴圓的半徑是

3

x；
∵等腰直角三角形ODG，
∴DG=DH=

3

x，
∵B，O，G三點共線，
∴BG=（2+

3

）x；
∵∠C=30°，
∴CG=CF=（2

3

+3）x，
∴x+（2

3

+3）x=1，
∴x=

2- 3

2

，
∴AD=（

3

+1）x=

3 -1

2

．

點評：此題綜合運用了切線的性質(zhì)定理、切線長定理以及特殊的直角三角形的性質(zhì)．