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        1. 【題目】如圖,點C為線段AB上一點,分別以AB、AC、CB為底作頂角為120°的等腰三角形,頂角頂點分別為D、E、F(點EFAB的同側(cè),點D在另一側(cè))

          (1)如圖1,若點CAB的中點,則∠AED   

          (2)如圖2,若點C不是AB的中點

          ①求證:DEF為等邊三角形;

          ②連接CD,若∠ADC=90°,AB=3,請直接寫出EF的長.

          【答案】(1) 90°;(2)①見解析;

          【解析】

          (1)如圖1,過EEHABH,連接CD,設(shè)EH=x,則AE=2x,AHx,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=30°,進而得到DC=CE,又因為EH∥DC,∴HEDEDC=CED,再進一步得到∠AEH=60°,∠HED=30°,即可求出∠AED的大;(2)①延長FCADH,連接HE,如圖2,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠FCB=∠FBC=30°,∠DAB=∠DBA=30°,∠EAC=∠ECA=30°,進而得到ADECBF,AECFBD,所以四邊形BDHF、四邊形AECH是平行四邊形,進而得到△AEH是等邊三角形,再根據(jù)SAS判定定理得到△DHE≌△FCE,∴∠DEF=CEH=60°,∴△DEF是等邊三角形;②如圖3,過EEMABM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),求出CD、CE的長,再根據(jù)勾股定理求出DE的長因為△DEF是等邊三角形,∴EF=DE,即可得解.

          (1)如圖1,過EEHABH,連接CD

          設(shè)EHx,則AE=2x,AHx,

          AEEC

          AC=2AH=2x,

          CAB的中點,ADBD,

          CDAB,

          ∵∠ADB=120°,

          ∴∠DAC=30°,

          DC=2x,

          DCCE=2x,

          EHDC,

          ∴∠HEDEDCCED,

          ∵∠AEH=60°,AEC=120°,

          ∴∠HEC=60°,

          ∴∠HED=30°,

          ∴∠AEDAEHHED=90°;

          故答案為:90°;

          (2)①延長FCADH,連接HE,如圖2,

          CFFB

          ∴∠FCBFBC,

          ∵∠CFB=120°,

          ∴∠FCBFBC=30°,

          同理:∠DABDBA=30°,EACECA=30°,

          ∴∠DABECAFBD

          ADECBF,

          同理AECFBD,

          ∴四邊形BDHF、四邊形AECH是平行四邊形,

          ECAHBFHD,

          AEEC,

          AEAH,

          ∵∠HAE=60°,

          ∴△AEH是等邊三角形,

          AEAHHECEAHEAEH=60°,

          ∴∠DHE=120°,

          ∴∠DHEFCE

          DHBFFC,

          ∴△DHE≌△FCESAS),

          DEEF,DEHFEC,

          ∴∠DEFCEH=60°,

          ∴△DEF是等邊三角形;

          ②如圖3,過EEMABM,

          ∵∠ADC=90°,DAC=30°,

          ∴∠ACD=60°,

          ∵∠DBA=30°,

          ∴∠CDBDBC=30°,

          CDBCAC

          AB=3,

          AC=2,BCCD=1,

          ∵∠ACE=30°,ACD=60°,

          ∴∠ECD=30°+60°=90°,

          AECE

          CMAC=1,

          ∵∠ACE=30°,

          CE,

          RtDEC中,DE,

          由①知:DEF是等邊三角形,

          EFDE

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