Question

在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分線，P是射線AC上任意一點 （不與A、D、C三點重合），過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，交直線BD于E．
（1）如圖①，當點P在線段AC上時，說明∠PDE=∠PED．
（2）作∠CPQ的角平分線交直線AB于點F，則PF與BD有怎樣的位置關(guān)系？畫出圖形并說明理由．

Answer 1

（1）∵PQ⊥AB，
∴∠EQB=∠C=90°，
∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°，
∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠CBD=∠EBQ，
∵∠PED=∠BEQ，
∴∠PDE=∠PED；
（2）當P在線段AC上時，如圖1所示，此時PF∥BD，



理由為：∵∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∵PF為∠CPQ的平分線，∠CPQ為△PDE的外角，
∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，
∴PF∥BD；
當P在線段AC延長線上時，如圖2所示，PF⊥BD，
理由為：∵∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∵PM為∠CPQ的平分線，
∴PF⊥BD．