Question

【題目】如圖1，△AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1：的圖象上，點A的橫坐標為﹣4，點B的縱坐標為﹣2.(點A在點B的左側(cè))

(1)求點A、B的坐標；

(2)將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，拋物線F2：經(jīng)過A'、B'兩點，已知點M為拋物線F2的對稱軸上一定點，且點A'恰好在以OM為直徑的圓上，連接OM、A'M，求△OA'M的面積；

(3)如圖2，延長OB'交拋物線F2于點C，連接A'C，在坐標軸上是否存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似.若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)點A坐標為(﹣4，﹣4)，點B坐標為(﹣1，﹣2)；(2)S△OA'M＝8；(3)點D坐標為(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)時，以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似.

【解析】

(1)把x＝﹣4代入解析式，求得點A的坐標，把y=-2代入解析式，根據(jù)點B與點A的位置關(guān)系即可求得點B的坐標；

(2)如圖1，過點B作BE⊥x軸于點E，過點B'作B'G⊥x軸于點G，先求出點A'、B'的坐標，OA＝OA'＝，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線F2解析式為：，對稱軸為直線：，設(shè)M(6，m)，表示出OM2，A'M2，進而根據(jù)OA'2+A'M2＝OM2，得到(4)2+m2+8m+20＝36+m2，求得m＝﹣2，繼而求得A'M＝，再根據(jù)S△OA'M＝OA'A'M通過計算即可得；

(3)在坐標軸上存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似，先求得直線OA與x軸夾角為45°，再分點D在x軸負半軸或y軸負半軸時，∠AOD＝45°，此時△AOD不可能與△OA'C相似，點D在x軸正半軸或y軸正半軸時，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如圖2、圖3)，此時再分△AOD∽△OA'C，△DOA∽△OA'C兩種情況分別討論即可得.

(1)當x＝﹣4時，，

∴點A坐標為(﹣4，﹣4)，

當y＝﹣2時，，

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，

∵點A在點B的左側(cè)，

∴點B坐標為(﹣1，﹣2)；

(2)如圖1，過點B作BE⊥x軸于點E，過點B'作B'G⊥x軸于點G，

∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，

∵將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，

∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，

∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，

∴∠B'OG＝∠OBE，

在△B'OG與△OBE中

，

∴△B'OG≌△OBE(AAS)，

∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，

∵點B'在第四象限，

∴B'(2，﹣1)，

同理可求得：A'(4，﹣4)，

∴OA＝OA'＝，

∵拋物線F2：y＝ax2+bx+4經(jīng)過點A'、B'，

∴，

解得：，

∴拋物線F2解析式為：，

∴對稱軸為直線：，

∵點M在直線x＝6上，設(shè)M(6，m)，

∴OM2＝62+m2，A'M2＝(6﹣4)2+(m+4)2＝m2+8m+20，

∵點A'在以OM為直徑的圓上，

∴∠OA'M＝90°，

∴OA'2+A'M2＝OM2，

∴(4)2+m2+8m+20＝36+m2，

解得：m＝﹣2，

∴A'M＝，

∴S△OA'M＝OA'A'M＝；

(3)在坐標軸上存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似，

∵B'(2，﹣1)，

∴直線OB'解析式為y＝﹣x，

，

解得：(即為點B')，，

∴C(8，﹣4)，

∵A'(4，﹣4)，

∴A'C∥x軸，A'C＝4，

∴∠OA'C＝135°，

∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°，

∵A(﹣4，﹣4)，即直線OA與x軸夾角為45°，

∴當點D在x軸負半軸或y軸負半軸時，∠AOD＝45°，此時△AOD不可能與△OA'C相似，

∴點D在x軸正半軸或y軸正半軸時，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如圖2、圖3)，

①若△AOD∽△OA'C，

則，

∴OD＝A'C＝4，

∴D(4，0)或(0，4)；

②若△DOA∽△OA'C，

則，

∴OD＝OA'＝8，

∴D(8，0)或(0，8)，

綜上所述，點D坐標為(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)時，以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似.