Question

【題目】我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線有且只有一個交點時，我們稱這兩條拋物線為“共點拋物線”，這個交點為“共點”．

（1）判斷拋物線y＝x2與y＝﹣x2是“共點拋物線”嗎？如果是，直接寫出“共點”坐標(biāo)；如果不是，說明理由；

（2）拋物線y＝x2﹣2x與y＝x2﹣2mx﹣3是“共點拋物線”，且“共點”在x軸上，求拋物線y＝x2﹣2mx﹣3的函數(shù)關(guān)系式；

（3）拋物線L1：y＝﹣x2+2x+1的圖象如圖所示，L1與L2：y＝﹣2x2+mx是“共點拋物線”；

①求m的值；

②點P是x軸負半軸上一點，設(shè)拋物線L1、L2的“共點”為Q，作點P關(guān)于點Q的對稱點P′，以PP′為對角線作正方形PMP′N，當(dāng)點M或點N落在拋物線L1上時，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）是，（0，0）；（2）；（3）①m的值為0或4，②P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）.

【解析】

（1）解方程x2＝﹣x2得出x＝0

（2）因為兩個拋物線的共點在x軸上，y＝0代入L1中求得交點坐標(biāo)，分別代入L2中，求得m的值，獲得拋物線的解析式．

（3）①兩拋物線為共點拋物線時，只有一個交點，運用判別式為零，求出m的值

②設(shè)點P坐標(biāo)（a，0），通過Q點坐標(biāo)，獲得P'點坐標(biāo)，因為PP'為正方形，利用K型全等模型建立全等關(guān)系，從而求出點M和N的坐標(biāo)，將M、N分別代入解析式，獲得a的值，從而求出點P的坐標(biāo)．

解：（1）是，（0，0）

x2＝﹣x2

∴x＝0

（2）令y＝x2﹣2x＝0

解得x1＝0，x2＝2

當(dāng)x＝0時，﹣3≠0

∴（0，0）不是共點

當(dāng)x＝2時，4﹣4m﹣3＝0

解得m＝

∴y＝

（3）①若兩個拋物線是“共點拋物線”

則方程﹣x2+2x+1＝﹣2x2+mx有兩個相等的實數(shù)根

即x2+（2﹣m）x+1＝0有兩個相等的實數(shù)根

∴△＝（2﹣m）2﹣4＝0

解得m＝0或m＝4

∴m的值為0或4．

②P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）

設(shè)點P（a，0）

當(dāng)m＝0時，Q（﹣1，﹣2）

∴P'（﹣2﹣a，﹣4）

∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M

∴△APM≌△BMP'（AAS）

設(shè)M（x，y），N（a，b）

解得

解得

∴可得M（1，﹣3﹣a），N（﹣3，a﹣1）

分別代入L1解析式可得

a1＝﹣5，a2＝﹣13

當(dāng)m＝4時，Q（1，2）

∴P'（2﹣a，4）

∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M

∴△APM≌△BMP'（AAS）

設(shè)M（m，n）N（x，y）

解得

解得

∴可得M（﹣2，4﹣a），N（3，1+a）

分別代入L1解析式可得

a1＝﹣3，a2＝11（舍）

∴P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）