Question

（2013•江都市二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+2x+c過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）且與y軸交與點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線對稱軸x=l上一動點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求當(dāng)AD+CD最小時點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）有這樣的點(diǎn)D能使△ACD為直角三角形嗎？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+2x+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）由于A與B關(guān)于拋物線的對稱軸得出，所以連接BC交對稱軸與點(diǎn)D，則此時AD+CD最小．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，令x=1，求出y的值，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）△ACD為直角三角形時，分三種情況討論：①∠ACD=90°；②∠CAD=90°；③∠CDA=90°．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴

a-2+c=0 9a+6+c=0

，解得

a=-1 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）如圖，連接BC交對稱軸與點(diǎn)D，連接AD，則AD=BD，
此時AD+CD=BD+CD=BC最�。�
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（3，0），C（0，3），
∴

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
∴y=-x+3，
令x=1，y=-1+3=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；

（3）有這樣的點(diǎn)D能使△ACD為直角三角形，理由如下：
如果△ACD為直角三角形，可分三種情況討論：
①當(dāng)∠ACD=90°時，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．
在△CED與△AOC中，
∵∠DCE=∠CAO=90°-∠OCA，∠DEC=∠COA=90°，
∴△CED∽△AOC，
∴

CE

AO

=

DE

CO

，即

CE

1

=

1

3

，
∴CE=

1

3

，
∴OE=OC-CE=3-

1

3

=

8

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

8

3

）；
②當(dāng)∠CAD=90°時，如圖，設(shè)拋物線的對稱軸x=l與x軸交于點(diǎn)F．
在△DFA與△AOC中，
∵∠DAF=∠ACO=90°-∠FAC，∠DFA=∠AOC=90°，
∴△DFA∽△AOC，
∴

DF

AO

=

AF

CO

，即

DF

1

=

2

3

，
∴DF=

2

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-

2

3

）；
③當(dāng)∠CDA=90°時，如圖，過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，設(shè)D的坐標(biāo)為（1，m）．
在△CGD與△AFD中，
∵∠CDG=∠ADF=90°-∠ADG，∠CGD=∠AFD=90°，
∴△CGD∽△AFD，
∴

CG

AF

=

DG

DF

，即

3-m

2

=

1

m

，
整理，得m²-3m+2=0，
解得m=1或m=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）或（1，2）．
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

8

3

）或（1，-

2

3

）或（1，1）或（1，2）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．在一個三角形中沒有明確哪一個角是直角時，應(yīng)分情況討論．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．