Question

如圖，AB是半圓⊙O的直徑，AC⊥AB，AB=2AC，BF⊥AB，在直徑AB上任取一點(diǎn)P（不與端點(diǎn)A、B重合），過A、P、C三點(diǎn)的圓與⊙O相交于除點(diǎn)A以外的另一點(diǎn)D，連接AD并延長交射線BF于點(diǎn)E，連接DB、DP、DC．
（1）求證：△ACD∽△BPD；
（2）求證：BE=2BP；
（3）試問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，DE=2AD．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形APDC是小圓的內(nèi)接四邊形，那么∠BPD=∠C，證兩三角形相似需再得出一組對應(yīng)角相等，由于AC，BE都垂直AB，因此可通過這兩條平行線得出∠CAD=∠BED，而∠BED又和∠ABD同為∠DBE的余角，因此可得出∠EBD=∠DAC，這樣兩組對應(yīng)角相等可得出兩三角形相似．
（2）根據(jù)（1）的相似三角形，可以得出關(guān)于BP，AC，AD，BD的比例關(guān)系式，然后通過相似三角形ADB和ABE可得出關(guān)于AD，BD，AB，BE的比例關(guān)系式，那么通過置換相等的量，就可得出BE：BP=AB：AC，由此得證．
（3）本題是求BP，AB的比例關(guān)系，當(dāng)DE=2AD時(shí)，根據(jù)射影定理可得BE²=DE•AE=6AD²，BE=

6

AD=2BP，BP=

6

2

AD，同樣根據(jù)射影定理可得出AB²=AD•AE=4AD²，AB=2AD，因此BP=

2

2

AB，即當(dāng)BP=

2

2

AB時(shí)，DE=2AD．

解答：（1）證明：
∵四邊形APDC是小圓的內(nèi)接四邊形
∴∠BPD=∠C
∵CA⊥AB，EB⊥AB
∴CA∥BE
∴∠CAD=∠DEB
∵∠DEB+∠DBE=∠DBP+∠DBE=90°
∴∠DBP=∠BEA=∠CAD
∴△ACD∽△BPD．

（2）證明：由（1）知∠BED=∠DBP
∵∠ADB=∠ABE
∴△ADB∽△ABE
∴

AD

BD

=

AB

BE

由（1）的相似三角形可得

AC

BP

=

AD

BD

∴

AB

BE

=

AC

BP

，即

AB

AC

=

BE

BP

=2
∴BE=2BP．
（3）由DB•DB=AD•2DA，得DB：AD=

2

，
∵△ACD∽△BPD，
∴DB：DA=PB：AC=PB：

AB

2

=

2

，
∴PB=

2

2

AB時(shí)，DE=2AD．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，通過相似三角形來得出與已知和所求相關(guān)的線段成比例是解題的關(guān)鍵．