Question

已知：二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x²+4x-1．
（1）設(shè)這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P，與y軸的交點(diǎn)為A，求P、A兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將二次函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位，設(shè)平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)為B、C（其中點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及tan∠APB的值．

Answer 1

分析：（1）利用配方法將原函數(shù)解析式變?yōu)閥=2（x+1）²-3，則可求得這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)P，又由x=0時(shí)，y=-1，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）首先求得平移后的二次函數(shù)的解析式，則可求得B、C的坐標(biāo)，然后求得AB，AP，PB的長，則可得∠PAB=90°，則問題得解．

解答：解：（1）y=2x²+4x-1=2（x²+2x）-1=2（x+1）²-3，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（-1，-3），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：A（0，-1）；

（2）平移后的解析式為：y=2x²+4x．
令y=0，得2x²+4x=0，
∴x₁=0，x₂=-2．
∴平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：B（-2，0），C（0，0）；
由A（0，-1），B（-2，0），P（-1，-3），
可得：AB=

22+12

=

5

，AP=

22+12

=

5

，PB=

12+32

=

10

．
∴AB²+AP²=PB²．
∴∠PAB=90°．
∴tan∠APB=

AB

PA

=

5

5

=1．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，勾股定理的應(yīng)用以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．