Question

已知拋物線y＝ax²＋2x＋3(a≠0)有如下兩個特點(diǎn)：①無論實(shí)數(shù)a怎樣變化，其頂點(diǎn)都在某一條直線l上；②若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增大分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線y＝ax²＋2x＋3(a≠0)上．

(1)求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時，拋物線y＝ax²＋2x＋3(a≠0)的頂點(diǎn)所在直線l的解析式；

(2)請找出在直線上但不是該拋物線頂點(diǎn)的所有點(diǎn)，并說明理由；

(3)你能根據(jù)特點(diǎn)②的啟示，對一般二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋x(a≠0)提出一個猜想嗎？請用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來，并給予證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)取，得拋物線， 　　其頂點(diǎn)為． 　　取，得拋物線， 　　其頂點(diǎn)為． 　　由題意有在直線上，設(shè)直線的解析式為 　　，則 　　解得： 　　∴直線的解析式為． 　　(2)∵拋物線的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為． 　　顯然P在直線上． 　　又能取到除0以外的所有實(shí)數(shù)， 　　∴在上僅有一點(diǎn)(0，3)不是該拋物線的頂點(diǎn)． 　　(3)猜想：對于拋物線，將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點(diǎn)也在拋物線上． 　　證明如下： 　　∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()， 　　∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為， 　　點(diǎn)B的坐標(biāo)為． 　　∵時， 　　∴點(diǎn)A在拋物線， 　　同理有B也在拋物線上，故結(jié)論成立．