Question

（2012•吉林）問(wèn)題情境
如圖，在x軸上有兩點(diǎn)A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分別過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線y=x²于點(diǎn)C、點(diǎn)D．直線OC交直線BD于點(diǎn)E，直線OD交直線AC于點(diǎn)F，點(diǎn)E、點(diǎn)F的縱坐標(biāo)分別記為y_E，y_F．
特例探究
填空：
當(dāng)m=1，n=2時(shí)，y_E=

2

，y_F=

2

；
當(dāng)m=3，n=5時(shí)，y_E=

15

，y_F=

15

．
歸納證明
對(duì)任意m，n（n＞m＞0），猜想y_E與y_F的大小關(guān)系，并證明你的猜想．
拓展應(yīng)用
（1）若將“拋物線y=x²”改為“拋物線y=ax²（a＞0）”，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出y_E與y_F的大小關(guān)系；
（2）連接EF，AE．當(dāng)S_{四邊形OFEB}=3S_△OFE時(shí)，直接寫y_E與y_F的大小關(guān)系及四邊形OFEA的形狀．

Answer 1

分析：【特例探究】【歸納證明】都是【拓展應(yīng)用】（1）的特殊情況，因此以【拓展】（1）為例說(shuō)明前三小問(wèn)的思路：
已知A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行比較即可．
最后一小題也比較簡(jiǎn)單：總結(jié)前面的結(jié)論，能得出EF∥x軸的結(jié)論，那么四邊形OFEA的面積可分作△OEF、△OEA兩部分，根據(jù)給出的四邊形和△OFE的面積比例關(guān)系，能判斷出EF、OA的比例關(guān)系，進(jìn)而得出m、n的比例關(guān)系，再對(duì)四邊形OFEA的形狀進(jìn)行判定．

解答：解：【特例探究】
當(dāng)m=1，n=2時(shí)，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；
則：直線OC：y=x；直線OD：y=2x；
∴F（1，2）、E（2，2）；
即：y_E=y_F=2．
同理：當(dāng)m=3，n=5時(shí)，y_E=y_F=15．

【歸納證明】
猜想：y_E=y_F；
證明：點(diǎn)A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．
由拋物線的解析式知：C（m，m²）、D（n，n²）；
設(shè)直線OC的解析式：y=kx，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)：
km=m²，k=m
即：直線OC：y=mx；
同理：直線OD：y=nx．
∴E（n，mn）、F（m，mn）
即y_E=y_F．

【拓展應(yīng)用】
（1）y_E=y_F．證法同（2），不再?gòu)?fù)述．
（2）綜合上面的結(jié)論，可得出E、F的縱坐標(biāo)相同，即EF∥x軸，則四邊形ABEF是矩形；
∵S_{四邊形OFEB}=3S_△OFE，
∴

1

2

（FE+OB）•BE=3×

1

2

FE•BE，
∴OB=2FE，
∵四邊形ABEF是矩形，
∴FE=AB，
∴OA=OB-AB=2FE-FE=FE，
又∵EF∥x軸，
∴四邊形OFEA是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法、四邊形的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，由淺入深的引導(dǎo)方式進(jìn)一步降低了題目的難度，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握是解題的關(guān)鍵．