Question

【題目】如圖，已知在四邊形中，，，平分，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，，．

求證：四邊形是菱形；

若，如圖所示：

①求證：；

②若，求的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，求出四邊形ABFE是平行四邊形，求出AB=AE，根據(jù)菱形的判定得出即可；
（2）①過(guò)O作ON∥BC交DC于N，根據(jù)矩形的判定得出四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，求出N為DC的中點(diǎn)，ON⊥DC，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)得出OD=OC，即可得出答案；
②根據(jù)正方形的判定得出四邊形ABFE是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠AEB=45°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠EDO=30°，求出∠ODC即可．

證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴，即，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴平行四邊形是菱形；

①過(guò)作交于，

∵，，，

∴四邊形是矩形，

∴，，

∴，

∵為的中點(diǎn)，

∴為的中點(diǎn)，，

∴，

∴，

∵，

∴；

②解：∵四邊形是平行四邊形，，，

∴四邊形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．