Question

【題目】如圖1，拋物線y＝x2﹣x﹣3，與x軸交于A和B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線AM與y軸交于點(diǎn)D，連接BC、AC．

（1）求直線AD和BC的解折式；

（2）如圖2，E為直線BC下方的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△BCE的面積最大時(shí)，一線段FG＝4（點(diǎn)F在G的左側(cè)）在直線AM上移動(dòng)，順次連接B、E、F、G四點(diǎn)構(gòu)成四邊形BEFG，請(qǐng)求出當(dāng)四邊形BEFG的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）如圖3，將△DAC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的三角形為△DA′C′，若直線A′C′分別與直線BC、y軸交于M、N，當(dāng)△CMN是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CM的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1，y＝x﹣3；（2）F（，）；（3），，或．

【解析】

（1）令y=0，得x1=-1，x2=4，A（-1，0），B（4，0），令x=0，得C（0，-3），令x=，得y=，M（，），待定系數(shù)法可求直線AD、BC的解析式；

（2）點(diǎn)F是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，△FBC面積最大值可以轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最大值問(wèn)題，設(shè)點(diǎn)F橫坐標(biāo)為t，則可以將△FBC面積表示成t的二次函數(shù)，再應(yīng)用配方法將二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式，就可以求出△FBC面積最大時(shí)，F的坐標(biāo)；四邊形BEFG周長(zhǎng)的最大值實(shí)際上就是求EF+BG的最大值，通過(guò)軸對(duì)稱求線段和的最小值方法求解；

（3）△CMN是等腰三角形，必須分三種不同情況討論：①CM=CN，②CM=MN，③CN=MN．

解：（1）在拋物線y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝，得y＝＝，

∴M（，），

設(shè)直線AD的解析式為y＝k1x+b1，將A（﹣1，0），M（，）代入得，

解得，

∴直線AD的解析式為y＝x+1．

設(shè)直線BC的解析式為y＝k2x+b2，將B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，

解得，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣3；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH∥y軸交BC于H，

設(shè)E（t，），H（t，），

∴HE＝＝

∴＝＝＝

∵＜0，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△BCE的最大值＝6，此時(shí)E（2，），

作點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x+1的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接B1G，過(guò)點(diǎn)F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，

∴B1（﹣1，5），

∵FG＝4，且FG在直線y＝x+1上，

∴F可以看作是G向左平移4個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

∴B2（﹣5，1），

當(dāng)B2、F、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，BEFG周長(zhǎng)最小，設(shè)直線B2E解析式為y＝mx+n，將B2（﹣5，1），E（2，）分別代入，得，

解得，

∴直線B2E解析式為y＝，

聯(lián)立方程組，

解得．

∴F（，）．

（3）如圖，分三種情況：

在中，令，則

,

設(shè)AC邊上的高為h，根據(jù)等面積法得，

且OB⊥OC，

①CM＝MN時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OC，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥MN于點(diǎn)P

∴設(shè)，則，

由勾股定理得，，

，即

解得，，（舍去）

②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OC，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥MN于點(diǎn)P

設(shè)，則

，解得：（舍去），，

；

③當(dāng)時(shí)，如圖，作，，

設(shè)，則

，即，解得，（舍去），

；

④當(dāng)時(shí)，過(guò)M作，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥MN于點(diǎn)P

設(shè)，則

在中，

解得，（舍去）

.

綜上，CM的長(zhǎng)為，，或.