Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，G是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，GE∥AD分別交AC、BA或其延長(zhǎng)線于F、E兩點(diǎn)

（1）如圖1，當(dāng)BC＝5BD時(shí)，求證：EG⊥BC；

（2）如圖2，當(dāng)BD＝CD時(shí)，FG+EG是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)BD＝CD，FG＝2EF時(shí)，DG的值＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）不變；EG+FG＝2；（3）或．

【解析】

（1）利用勾股定理得出BC，進(jìn)一步得出BD，之后證明△BDA∽△BAC，所以∠BDA＝∠BAC＝90°，根據(jù)GE∥AD進(jìn)一步得出結(jié)論即可；

（2）當(dāng)BD=CD時(shí)，FG+EG不發(fā)生變化，且FG+EG=,利用△CFG∽△CAD進(jìn)一步證明即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況：當(dāng)F在CA的延長(zhǎng)線上和E在BA的延長(zhǎng)線上，據(jù)此分別畫(huà)出圖形，利用相似得出答案即可.

證明：（1）如圖1，

∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，

∴BC＝2，

∵BC＝5BD，

∴BD＝，

∴，

又∵∠DBA＝∠ABC，

∴△BDA∽△BAC，

∴∠BDA＝∠BAC＝90°，

∵EG∥AD，

∴EG⊥BC．

（2）FG＝EG＝2不變，

如圖2，

∵EG∥AD，

∴△CFG∽△CAD，

∴,

同理,

∵BD＝CD，

∴+＝+＝2，

∴EG+FG＝2AD，

∵BD＝CD，∠BAC＝90°，

∴AD＝BC＝，

∴EG+FG＝2AD＝2．

（3）如圖，

當(dāng)BD＝CD，FG＝2EF時(shí)，

則GE＝EF，

∵GE∥AD，AD∥GF，

∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△BGE，

∴,,

∴=,

又BG+CG＝2，

∴BG＝，

∴DG＝BD＝BG＝；

如圖，

當(dāng)BD＝CD，FG＝2EF時(shí)，

則GE＝EF，

∵GE∥AD，AD∥GF，

∴△CFG∽△CAD，△ABD∽△AGE，

∴,,

∴=,

又BG+CG＝2，

∴CG＝，

∴DG＝CD﹣CG＝．

綜上所知DG為或．