Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，P為邊CD上一點，把△BCP沿直線BP折疊，頂點C折疊到C′，連接BC′與AD交于點E，連接CE與BP交于點Q，若CE⊥BE.

(1)求證：△ABE∽△DEC；

(2)當AD=13時，AE<DE，求CE的長；

(3)連接C′Q，直接寫出四邊形C′QCP的形狀：______.當CP=4時，并求CEEQ的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)3 ；(3)菱形，24.

【解析】

(1)由題意可得∠AEB+∠CED=90°,且∠ECD+∠CED=90°,可得∠AEB=∠ECD,且∠A=∠D=90°,則可證△ABE∽△DEC；

(2)設AE=x,則DE=13x,由相似三角形的性質(zhì)可得 ,即：，可求x的值，即可得DE=9，根據(jù)勾股定理可求CE的長；

(3)由折疊的性質(zhì)可得CP=C′P,CQ=C′Q,∠C′PQ=∠CPQ,∠BC′P=∠BCP=90,由平行線的性質(zhì)可得∠C′PQ=∠CQP=∠CPQ,即可得CQ=CP=C′Q=C′P,則四邊形C′QCP是菱形,通過證△C′EQ∽△EDC,可得 ，即可求CEEQ的值.

證明：(1)∵CE⊥BE，

∴∠BEC=90°，

∴∠AEB+∠CED=90°，

又∵∠ECD+∠CED=90°，

∴∠AEB=∠ECD，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEC

(2)設AE=x，則DE=13x，

由(1)知：△ABE∽△DEC，

∴ ,即：

∴x13x+36=0，

∴x=4,x=9，

又∵AE<DE

∴AE=4，DE=9，

在Rt△CDE中,由勾股定理得： .

(3)∵折疊，

∴CP=C′P,CQ=C′Q,∠C′PQ=∠CPQ,∠BC′P=∠BCP=90°，

∵CE⊥BC′,∠BC′P=90°，

∴CE∥C′P，

∴∠C′PQ=∠CQP，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=CP，

∴CQ=CP=C′Q=C′P，

∴四邊形C′QCP是菱形，

故答案為：菱形

∵四邊形C′QCP是菱形，

∴C′Q∥CP，C′Q=CP，∠EQC′=∠ECD

又∵∠C′EQ=∠D=90°，

∴△C′EQ∽△EDC

∴

∴CEEQ=DCC′Q=6×4=24