Question

3．如圖，PA、PB與⊙O分別相切于點(diǎn)A、點(diǎn)B，AC是⊙O的直徑，PC交⊙O于點(diǎn)D．已知∠APB=60°，AC=2，那么AD的長為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 連接AD，OB，OP，根據(jù)已知可求得AP，PC的長，再根據(jù)切割線定理得，PA²=PD•PC，從而可求得PD與AD的長．

解答 解：連接AD，OB，OP；
∵PA、PB與⊙O分別相切于點(diǎn)A、點(diǎn)B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=180°-∠P=120°，
∴∠AOP=60°，AP=AOtan60°=$\sqrt{3}$，
∴PC=$\sqrt{7}$；
∵PA²=PD•PC，
∴PD=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴AD=$\sqrt{A{P}^{2}-P{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和為360°、切割線定理等知識(shí)，正確得出PD的長是解題關(guān)鍵．