Question

【題目】（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，M在DC上，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)DP+MP的值最小時(shí)，在備用圖（答題卷上）中用尺規(guī)作出點(diǎn)P的位置，并直接寫出DP的長(zhǎng)是?

（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)M是DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AM，作BP⊥AM于點(diǎn)P，連結(jié)DP，當(dāng)DP最小時(shí)，在備用圖（答題卷上）中用尺規(guī)作出點(diǎn)P的位置，并直接寫出DP的長(zhǎng)是?

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析，；（2）見(jiàn)解析，

【解析】

（1）作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連結(jié)DM′交AC于點(diǎn)P，此時(shí)DP+MP最小，最小值為DM′，根據(jù)勾股定理求得DM′，然后根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得DP；

（2）以AB為直徑作△APB的內(nèi)接圓，當(dāng)DP最小時(shí)，N、P、D三點(diǎn)共線，DP最小，根據(jù)勾股定理求得ND=

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，即可求得DP．

（1）如圖1①，

作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連結(jié)DM′交AC于點(diǎn)P，

此時(shí)DP+MP最小，最小值為DM′，

DM′=，

∵AD∥BC，

△ADP∽△CM′P，

∴DP：PM′=AD：CM′=2：1

∴；

（2）如圖②正方形ABCD邊長(zhǎng)是4，所以三角形ABP的半徑是2，DN長(zhǎng)是2．DP最小是．

∵BP⊥AM，

∴△ABP是直角三角形，

∴以AB為直徑作△APB的外接圓，

∵正方形ABCD邊長(zhǎng)是4，

∴三角形ABP的半徑是2，DN長(zhǎng)是2．

當(dāng)DP最小時(shí)，N、P、D三點(diǎn)共線

∴DP最小值=2-2．