Question

已知：拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（，0）、B（，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）若m＞1，△ABC的面積為6，求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)D在x軸下方，是（1）中的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，作DE∥x軸與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)E，作DF⊥x軸于F，作EG⊥x軸于點(diǎn)G，求矩形DEGF周長(zhǎng)的最大值；

（3）若m<0，以AB為一邊在x軸上方做菱形ABMN（∠NAB為銳角）， P是AB邊的中點(diǎn)，Q是對(duì)角線(xiàn)AM上一點(diǎn)，若， ，當(dāng)菱形ABMN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

解：∵ 拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），

∴ x₁、x₂是關(guān)于x的方程的解.

解方程，得或.

（1）∵ A在B 的左側(cè)，m>1，

∴ ，.

∴ AB=m－1.

拋物線(xiàn)與y軸交于C（0，m）點(diǎn).                      

5

            ∴ OC=m.

3

4

            △ABC的面積S==.

1

2

            解得 ，（不合題意，舍去）.

∴ 拋物線(xiàn)解析式為.

 

（2）∵ 點(diǎn)D在（1）中的拋物線(xiàn)上，

∴ 設(shè)D（t, ）（）.

∴ F（t，0），DF=.

又拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，DE與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)記為R（如圖12），

∴ DR=，DE=.

設(shè)矩形DEGF的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則 L=2（DF+DE）.

∴ L =2（＋）

=

=.

∵ ，

∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，L有最大值.

當(dāng)時(shí)，L_最大=.

∴ 矩形周長(zhǎng)的最大值為.

（3）∵ A在B 的左側(cè)，m<0，

∴ ，.

∴ AB=1－m.

如圖13，作NH⊥AB于H，連結(jié)QN.

在Rt△AHN中， .

設(shè)AH=4k（k>0）， 則AN=5k，NH=3k.

∴ AP===，PH=AH －AP==，PN==.

∵ 菱形ABMN是軸對(duì)稱(chēng)圖形，

∴ QN=QB.

∴ PQ+QN = PQ+QB=6.

∵ PQ+QN≥PN（當(dāng)且僅當(dāng)P、Q、N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立）.

∴ ，

解得 k≤.

∵ S_菱形ABMN=AB·NH=15 k²≤48.

∴ 當(dāng)菱形面積取得最大值48時(shí)，k=.

此時(shí)AB=5k=1－m =.

解得 m=1－.

∴ A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1－，0）.