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        1. 【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+2x+8x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,且B(4,0).

          (1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標;

          (2)如果點P(p,0)是x軸上的一個動點,則當|PC﹣PD|取得最大值時,求p的值;

          (3)能否在拋物線第一象限的圖象上找到一點Q,使△QBC的面積最大,若能,請求出點Q的坐標;若不能,請說明理由.

          【答案】(1) y=﹣(x﹣1)2+9 ,D(1,9); (2)p=﹣8;(3)存在點Q(2,8)使△QBC的面積最大.

          【解析】

          (1)把點B的坐標代入y=ax2+2x+8求得a的值,即可得到該拋物線的解析式再把所得解析式配方化為頂點式,即可得到拋物線頂點D的坐標;

          (2)由題意可知點P在直線CD上時,|PC﹣PD|取得最大值,因此求得點C的坐標,再求出直CD的解析式,即可求得符合條件的點P的坐標,從而得到p的值;

          (3)由(1)中所得拋物線的解析式設點Q的坐標為(m,﹣m2+2m+8)(0<m<4),然后用含m的代數(shù)式表達出△BCQ的面積,并將所得表達式配方化為頂點式即可求得對應點Q的坐標.

          (1)∵拋物線y=ax2+2x+8經(jīng)過點B(4,0),

          16a+8+8=0,

          a=﹣1,

          ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣1)2+9,

          D(1,9);

          (2)∵當x=0時,y=8,

          C(0,8).

          設直線CD的解析式為y=kx+b.

          將點C、D的坐標代入得:,解得:k=1,b=8,

          ∴直線CD的解析式為y=x+8.

          y=0時,x+8=0,解得:x=﹣8,

          ∴直線CDx軸的交點坐標為(﹣8,0).

          ∵當P在直線CD上時,|PC﹣PD|取得最大值,

          p=﹣8;

          (3)存在,

          理由:如圖,由(2)知,C(0,8),

          B(4,0),

          ∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8,

          過點QQEy軸交BCE,

          Q(m,﹣m2+2m+8)(0<m<4),則點E的坐標為:(m,﹣2m+8),

          EQ=﹣m2+2m+8﹣(﹣2m+8)=﹣m2+4m,

          SQBC=(﹣m2+4m)×4=﹣2(m﹣2)2+8,

          ∴m=2時,SQBC最大,此時點Q的坐標為:(2,8).

          練習冊系列答案
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          時間x

          5

          10

          15

          20

          25

          日銷售量m(件)

          45

          40

          35

          30

          25

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          ②請說明①題中所標示點的理由.

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