Question

已知：如圖所示，反比例函數(shù)y=

1

x

與直線y=-x+2只有一個公共點P，則稱P為切點．
（1）若反比例函數(shù)y=-

k

x

與直線y=kx+6只有一個公共點M，求當k＜0時兩個函數(shù)的解析式和切點M的坐標；
（2）設（1）問結(jié)論中的直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點．將∠ABO沿折痕AB翻折，設翻折后的OB邊與x軸交于點C．
①直接寫出點C的坐標；
②在經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使以P、O、M、C為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為兩函數(shù)只有一個公共點，將關于兩個函數(shù)解析式的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，令△=0即可求出k的值．進而求出兩函數(shù)的解析式及M點的坐標．
（2）①根據(jù)直線解析式，先求出A、B兩點坐標，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，得∠OBA=∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，求出AC的長，易得C點坐標．
②由于A、C在x軸上，且A、C關于拋物線對稱軸對稱，可求出拋物線對稱軸方程，根據(jù)P點的移動情況，可見有三種情況：一、當MP∥OC時，可根據(jù)M點縱坐標得到P點縱坐標；二、MO∥CP時，可根據(jù)直線MO的系數(shù)求出直線CP的系數(shù)，再將C點坐標代入，即可求得PC解析式，將對稱軸坐標代入解析式，即可求得P點坐標；三、可根據(jù)直線MC的系數(shù)求出直線CP的系數(shù)，由于OP過原點，即可求得OP解析式，將對稱軸坐標代入解析式，即可求得P點坐標．

解答：解：（1）因為反比例函數(shù)y=-

k

x

與直線y=kx+6只有一個公共點，
將y=-

k

x

代入y=kx+6得
kx²+6x+k=0，
由△=36-4k²=0
得k=±3．
又∵k＜0，
∴k=-3．
∴兩個函數(shù)的解析式分別為y=

3

x

，和y=-3x+6．
∴點M的坐標為（1，3）．（2分）

（2）①如圖，y=-3x+6與x軸、y軸兩交點A、B的坐標分別為（2，0），（0，6）．
根據(jù)翻折不變性，∠OBA=∠ABC，
設AC=a，根據(jù)勾股定理，BC=

62+(2+a)2

，
根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，

62+(2+a)2

a

=

6

2

，
解得a=

5

2

或a=-2（負值舍去），
于是OC=2+

5

2

=

9

2

，可求得點C的坐標為（

9

2

，0）．（3分）
②存在點P滿足四邊形POMC為梯形．（4分）
又∵經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的對稱軸為x=

13

4

．（5分）
一、當MP₁∥OC時，P₁點的縱坐標為M點的縱坐標3，則P₁點的縱坐標為（

13

4

，3），而此時OM與CP₁不平行．
二、當MO∥CP₂時，由于OM解析式為y=3x，設P₂C解析式為y=3x+b，
將C（

9

2

，0）代入解析式
可得b=-

27

2

，
則P₂C解析式為y=3x-

27

2

，
當x=

13

4

時，y=-

15

4

，
則P₂點的坐標為（

13

4

，-

15

4

），
經(jīng)判斷，OP₂與MC不平行．（6分）
三、當MC∥OP₃時，由于CM解析式為y=-

6

7

x+

27

7

，則P₃O解析式為y=-

6

7

x，
當x=

13

4

時，y=-

39

14

，則P₃點的坐標為（

13

4

，-

39

14

），
經(jīng)判斷，MO與CP不平行．（7分）
∴滿足條件的P點的坐標為（

13

4

，3）、（

13

4

，-

15

4

）和（

13

4

，-

39

14

）．

點評：此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)解析式組成的方程組的解的個數(shù)和函數(shù)圖象交點個數(shù)及根的判別式的關系．尤其是（3），結(jié)合梯形的性質(zhì)和拋物線的性質(zhì)，考查了點的存在性問題，要利用圖形進行分類討論．