Question

【題目】如圖，AB是的直徑，弦于H，過(guò)CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)E作的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于切點(diǎn)為G，連接AG交CD于K．

求證：；

若，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

在的條件下，若，，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析；，理由見(jiàn)解析；．

【解析】

如圖1，連接根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)及，可以推出，根據(jù)等角對(duì)等邊得到；

與EF平行，理由為：如圖2所示，連接GD，由，及，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似可得出與相似，又利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到，可推知，從而得到；

如圖3所示，連接OG，OC，先求出，再求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在中，解直角三角形即可求得FG的長(zhǎng)度．

如答圖1，連接OG．

為切線(xiàn)，

，

，

，

又，

，

，

．

，理由為：連接GD，如圖2所示．

，即，

，

又，

∽，

，

又，

，

；

連接OG，OC，如圖3所示，

，設(shè)，則，，

，，

，

．

在中，根據(jù)勾股定理得，

即，解得．

設(shè)半徑為r，在中，，，，

由勾股定理得：，

即，解得

為切線(xiàn)，

為直角三角形，

在中，，，

．