Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.將其繞直角頂點C順時針旋轉角（且≠ 90°），得到Rt△，邊與AB所在直線交于點D，過點 D作DE∥交邊于點E，連接BE.

（1）如圖1，當邊經過點B時，=      °；
（2）在三角板旋轉的過程中，若∠CBD的度數是∠CBE度數的m倍，猜想m的值并證明你的結論；
（3） 設 BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點E為圓心，EB為半徑作⊙E，當S=
時，求AD的長，并判斷此時直線與⊙E的位置關系.

Answer 1

（1）60
（2）證明略
（3）直線與⊙E相交解析:
（1）當邊經過點B時，="  60 " °；………………………… 1分
（2）猜想：①如圖8，點D在AB邊上時，m=2；
②如圖9，點D在AB的延長線上時，m=4.
（閱卷說明：為與后邊證明不重復給分，猜想結論不設給分點）
證明：① 當時，點D在AB邊上（如圖8）.

（閱卷說明：①、②兩種情況沒寫的取值范圍不扣分）
∵ DE∥，
∴ .
由旋轉性質可知，CA =，CB=，∠ACD=∠BCE.
∴ .
∴ △CAD∽△CBE. ……………2分
∴ ∠A =∠CBE=30°.
∵ 點D在AB邊上，∠CBD=60°，
∴ ，即 m="2." ………………………………………3分
② 當時，點D在AB的延長線上（如圖9）.

與①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.
∵ 點D在AB的延長線上，，
∴ ，即 m="4.  " ……………………………………4分
（閱卷說明：第（2）問用四點共圓方法證明的扣1分.）
（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴ AB =" 2" ，，.
由 △CAD∽△CBE 得 .
∵ AD=x，
∴ ，.
①當點D在AB邊上時，AD=x，，∠DBE=90°.
此時，.
當S =時，.
整理，得 .
解得 ，即AD=1.…………………5分
此時D為AB中點，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（如圖10）

∴ EC = EB.
∵ ，點E在邊上，
∴ 圓心E到的距離EC等于⊙E的半徑EB.
∴ 直線與⊙E相切. …………………………………………………6分
②當點D在AB的延長線上時，AD=x，，∠DBE=90°.（如圖9）.
.
當S =時，.
整理，得 .
解得 ，（負值，舍去）.
即.……………………………………………………………… 7分
此時∠BCE=，而，∠CBE=30°，
∴ ∠CBE＜∠BCE .
∴ EC＜EB，即圓心E到的距離EC小于⊙E的半徑EB.
∴ 直線與⊙E相交. ……………………………………………………8分