Question

已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，O為BC邊的中點(diǎn)，將-含30°角的直角三角板PQR放置到△ABC上，使得P點(diǎn)與O點(diǎn)重合，將三角板繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，PQ、PR分別與直線AB、AC交于點(diǎn)E、F：
（1）當(dāng)PQ、PR分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖a），求證：∠BEO=∠COF；
（2）當(dāng)PQ、PR分別與直線AB、AC交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖b、圖c），∠BEO與∠COF的大小關(guān)系是否改變？請直接寫出結(jié)論；
（3）在圖c中，連接EF，若AB=4，BE=

3

，求CF的長．

Answer 1

分析：（1）由已知可得∠B=∠C=30°，已知∠OPR=30°，根據(jù)角之間的關(guān)系，即可得到∠COF=∠BEO；
（2）連接AO，則AO⊥BC．
根據(jù)三角函數(shù)，可求得OB的長；
根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等，且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似，得到△BOE∽△CFO，進(jìn)一步得到對應(yīng)邊比例，從而求得CF的長．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠OPR=30°，
∴∠BPE+∠CPF=150°．
而∠BPE+∠BEP=150°，
∴∠CPF=∠BEP，即∠COF=∠BEO．

解：（2）∠BEO=∠COF不改變．

（3）連接AO，則AO⊥BC．
∴OB=ABcos30°=

3

2

×4=2

3

．
由（1）得∠COF=∠BEO，∠C=∠B，
∴△BOE∽△CFO．
∴

OB

CF

=

BE

OC

，
∵OC=OB，
∴CF=

OB×OC

BE

=4

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．