Question

經(jīng)過x軸上A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點(diǎn)C，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，若以DB為直徑的⊙G經(jīng)過點(diǎn)C，求解下列問題：
（1）用含a的代數(shù)式表示出C，D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）如圖，當(dāng)a＜0時(shí)，能否在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形？你能寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)A，B的坐標(biāo)，用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)出拋物線的解析式，進(jìn)而可得出D，C的坐標(biāo)．
（2）本題的關(guān)鍵是求出a的值．可通過相似三角形來求解，過D作DE⊥y軸于E，易知△DEC∽△COB，可通過得出的關(guān)于DE，CO，EC，OB的比例關(guān)系式，求出a的值．進(jìn)而可求出拋物線的解析式．
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)∠BDQ=90°時(shí)，此時(shí)DQ是圓G的切線，設(shè)DQ交y軸于M，那么可通過求直線DM的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)∠DBQ=90°時(shí)，可過Q作x軸的垂線，設(shè)垂足為F，先設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形DHB和BFQ得出的關(guān)于DH，BF，BH，F(xiàn)Q的比例關(guān)系式，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
③當(dāng)∠BQD=90°時(shí)，顯然此時(shí)Q，C重合，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)即為C點(diǎn)的坐標(biāo)．
綜上所述可得出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）
則y=a（x²-2x-3）=a（x-1）²-4a
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（1，-4a）
點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，-3a）

（2）如圖①所示，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，如圖①所示：
則有△DEC∽△COB
∴

DE

CO

=

EC

OB

∴

1

|-3a|

=

|a|

3

∴a²=1a=±1
故拋物線的解析式為y=x²-2x-3或y=-x²+2x+3；

（3）a＜0時(shí)，a=-1，拋物線y=-x²+2x+3，
這時(shí)可以找到點(diǎn)Q，很明顯，點(diǎn)C即在拋物線上，
又在⊙G上，∠BCD=90°，這時(shí)Q與C點(diǎn)重合，點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（0，3）．
如圖②，若∠DBQ為90°，作QF⊥y軸于F，DH⊥x軸于H
可證Rt△DHB∽Rt△BFQ
有

DH

BF

=

HB

FQ

則點(diǎn)Q坐標(biāo)（k，-k²+2k+3）
即

4

3-k

=

2

k2-2k-3

化簡為2k²-3k-9=0
即（k-3）（2k+3）=0
解之為k=3或k=-

3

2

．
由k=-

3

2

得Q坐標(biāo)：Q(-

3

2

，-

9

4

)．
若∠BDQ為90°，
如圖③，延長DQ交y軸于M，
作DE⊥y軸于E，DH⊥x軸于H
可證明△DEM∽△DHB
即

DE

DH

=

EM

HB

，
則

1

4

=

EM

2

得EM=

1

2

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，

7

2

)DM所在的直線方程為y=

1

2

x+

7

2

則y=

1

2

x+

7

2

與y=-x²+2x+3的解為x=

1

2

，
得交點(diǎn)坐標(biāo)Q為(

1

2

，

15

4

)
即滿足題意的Q點(diǎn)有三個(gè)，（0，3），(-

3

2

，-

9

4

)，(

1

2

，

15

4

)．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和應(yīng)用、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．