Question

如圖，經(jīng)過x軸上A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）交y軸的正半軸于點(diǎn)C，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）用含a的代數(shù)式表示出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）若∠BCD=90°，請(qǐng)確定拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，能否在拋物線上找到另外的點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形？如果能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可得到a、b、c的關(guān)系式，進(jìn)而可得到C、D的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出BC²、CD²、BD²的值，若∠BCD=90°，則由勾股定理可得BC²+CD²=BD²，從而可求得a的值和拋物線的解析式．
（3）根據(jù)B、D的坐標(biāo)可得直線BD的解析式，若△BDQ是直角三角形，則有兩種情況需要討論：
①D是直角頂點(diǎn)，此時(shí)QD⊥BD，即兩條直線的斜率的積為-1，結(jié)合點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求得直線QD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②B是直角頂點(diǎn)，方法同①．

解答：解：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
則

b=-2a c=-3a

；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
故D（1，-4a），C（0，-3a）．

（2）由于B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），則：
BD²=16a²+4，BC2=9a²+9，CD²=a²+1；
若∠BCD=90°，則：BD²=BC²+CD²，即：
16a²+4=9a²+9+a²+1，
解得a=-1（正值舍去），
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

（3）易知C（0，3），D（1，4）；
而B（3，0），
則直線BD：y=-2x+6；
①∠BDQ=90°，可設(shè)直線DQ：y=

1

2

x+m，則有：

1

2

+m=4，m=

7

2

；
即y=

1

2

x+

7

2

；
聯(lián)立拋物線的解析式有：

y= 1 2 x+ 7 2 y=-x2+2x+3

，
解得

x= 1 2 y= 15 4

，

x=1 y=4

；
∴點(diǎn)Q（

1

2

，

15

4

）；
②∠DBQ=90°，同理可設(shè)直線BQ：y=

1

2

x+n，
則：

3

2

+n=0，n=-

3

2

，
即y=

1

2

x-

3

2

；
聯(lián)立拋物線的解析式有：

y= 1 2 x- 3 2 y=-x2+2x+3

，
解得

x=- 3 2 y=- 9 4

，

x=1 y=4

；
∴點(diǎn)Q（-

3

2

，-

9

4

）；
綜上可知，存在符合條的Q點(diǎn)，且坐標(biāo)為：Q1(-

3

2

，-

9

4

)，Q2(

1

2

，

15

4

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定等知識(shí)，要注意的是（3）題中，由于D、B都有可能是直角頂點(diǎn)，所以一定要分類討論，以免漏解．