Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠O）經(jīng)過X軸上的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點C（0，-

3

2

），⊙P的圓心P在y軸上，且經(jīng)過B、C兩點，若b=

3

a，AB=2

3

，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)D在拋物線上，且C，D兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經(jīng)過圓心P，并說明理由；
（3）設(shè)直線BD交⊙P于另一點E，求經(jīng)過E點的⊙P的切線的解析式．

Answer 1

分析：（1）把已知坐標(biāo)C代入求得c=-

3

2

，又b=

3

a，AB=2

3

，ax²+

3

ax-

3

2

=0，|x₁-x₂|=2

3

求得a的值，即求出拋物線的解析式．
（2）已知D點坐標(biāo)，可求直線BD的解析式，連接BP，設(shè)⊙P的半徑為R，求出R，P的值即可．
（3）過點E作EF⊥y軸于F，可求得△OPB≌△FPE，求出點P的坐標(biāo)．然后求得P E²=P F•PQ，根據(jù)關(guān)系求解．

解答：解：（1）∵軸上的點C（0，-

3

2

），
∴c=-

3

2

，
又∵b=

3

a，AB=2

3

，令ax²+

3

ax-

3

2

=0，|x₁-x₂|=2

3

，
解得：a=

2

3

，b=

2 3

3

；
∴拋物線的解析式是：y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

．（4分）

（2）D（-

3

，-

3

2

），
直線B D為：y=

3

3

x-

1

2

，
連接BP，設(shè)⊙P的半徑為R，
R2=(

3

2

)2+(

3

2

-R)2，R=1，P（0，-

1

2

），（7分）
點P的坐標(biāo)滿足直線BD的解析式y(tǒng)=

3

3

x-

1

2

．
∴直線B D經(jīng)過圓心P．（8分）

（3）過點E作EF⊥y軸于F，得△OPB≌△FPE，
E（-

3

2

，-1），（9分）
設(shè)經(jīng)過E點⊙P的切線L交y軸于點Q．
則∠P EQ=9 0°，EF⊥PQ，
∴P E²=P F•PQ，
∴PQ=2，Q（0，-2.5），（11分）
∴切線L為：y=-

3

x-2.5．（12分）

點評：本題考查的是圓的切線的有關(guān)知識，全等三角形的判定，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．難度較大．