Question

已知，如圖，半徑為1的⊙M經(jīng)過直角坐標系的原點O，且與x軸、y軸分別交于點A、B，點A的坐標為（

3

，0），⊙M的切線OC與直線AB交于點C．
（1）求點B的坐標；
（2）求∠ACO的度數(shù)；
（3）求直線OC的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了圓的半徑就知道了AB的長，已知了A的坐標，就知道了OA的長，根據(jù)勾股定理就能求出OB的長，因此B點的坐標就求出來了；
（2）可通過構(gòu)建三角形來求解．連接OM，則MO⊥OC，三角形MOC和AOB中，已知了一組直角，在（1）中我們求得OB=OM=1，因此∠OMB=∠OBM，因此兩三角形全等，那么∠OAC=∠OCA，在（1）中求出了OB的值，有AB的值，那么∠OAC的度數(shù)就不難求出了，也就求出了∠OCA的度數(shù)；
（3）關(guān)鍵是求出C的坐標，可通過構(gòu)建三角形來求解．由（2）得出的全等三角形我們知道：OC=OA=

3

，∠OAC=∠OCA=30°，因此∠COD=60°，因此可求出CD，OD的長，也就求出了C的坐標，可用待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)的函數(shù)式．

解答：解：（1）AB=2，OA=

3

OB=

22-( 3 )2

=1，
點B的坐標（0，1）；

（2）連接OM，
由（1）得：OB=1=OM，∠OBA=∠OMB，
又∵∠MOC=∠AOB=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△COM，
∵OB=1，AB=2，
∴∠BAO=30°，
∴∠ACO=∠BAO=30°；

（3）由（2）知：OC=OA=

3

，∠OAC=∠OCA=30°，
過C作CD⊥OA交x軸于D，
那么在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴OD=

3

2

，CD=

3

2

，
∴C點的坐標應是（-

3

2

，

3

2

），
設OC所在的直線為y=kx，
-

3

2

k=

3

2

，
k=-

3

，
∴函數(shù)的解析式為：y=-

3

x．

點評：本題的解題關(guān)鍵是通過直角三角形求出線段的長進而得出點的坐標．