Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象交于點(diǎn)P（n，2），與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱．

（1）求一次函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式；
（2）求證：點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)；
（3）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，說明理由并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，

∴AO=BO，

∵A（﹣4，0），

∴B（4，0），

∵PB⊥x軸于點(diǎn)B，

∴P（4，2），

把P（4，2）代入反比例函數(shù)解析式可得m=8，

∴反比例函數(shù)解析式為y= ，

把A、P兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得 ，解得 ，

∴一次函數(shù)解析式為y= x+1

（2）

證：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，

∴OA=OB，

∵PB⊥x軸于點(diǎn)B，

∴∠PBA=∠COA=90°，

∴PB∥CO，

∴ = =1，即AC=PC，

∴點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)

（3）

解：存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形．

理由如下：

∵點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)，

∴BC= AP=PC，

∴BC和PC是菱形的兩條邊，

由y= x+1可得C（0，1），

如圖，過點(diǎn)C作CD∥x軸，交PB于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，分別連接PD、BD，

∴D（8，1），且PB⊥CD，

∴PE=BE=1，CE=DE=4，

∴PB與CD互相垂直平分，即四邊形BCPD為菱形，

∴存在滿足條件的點(diǎn)D，其坐標(biāo)為（8，1）

【解析】（1）由條件可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）由平行線分線段成比例可求得AC=PC，可證得結(jié)論；（3）可先求得C點(diǎn)坐標(biāo)，過C作CD∥x軸，交PB于點(diǎn)E，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，可求得此時D點(diǎn)坐標(biāo)，可證得四邊形BCPD為菱形．