Question

【題目】如圖，已知拋物線y=（x+2）（x﹣4）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小時(shí)n的值；
（3）P是拋物線上一點(diǎn)，請(qǐng)你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得x1=﹣2，x2=4，

∴點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣，

∴點(diǎn)C（0，﹣）

（2）

解：將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣）

∴點(diǎn)M關(guān)于直線x=﹣2的對(duì)稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（﹣5，）

設(shè)直線M′B的解析式為y=kx+b

將點(diǎn)M′、B的坐標(biāo)代入得：

解得：

所以直線M′B的解析式為y=．

將x=﹣2代入得：y=﹣，

所以n=﹣;

（3）

解：過點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：

AD=，

BD=，

如下圖，①當(dāng)P1AB∽△ADB時(shí)，

即：

∴P1B=6

過點(diǎn)P1作P1M1⊥AB，垂足為M1．

∴即：

解得：P1M1=6，

∵即：

解得：BM1=12

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣8，6）

∵點(diǎn)P1不在拋物線上，所以此種情況不存在；

②當(dāng)△P2AB∽△BDA時(shí)，即：

∴P2B=6

過點(diǎn)P2作P2M2⊥AB，垂足為M2．

∴，即：

∴P2M2=2

∵，即：

∴M2B=8

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣4，2）

將x=﹣4代入拋物線的解析式得：y=2，

∴點(diǎn)P2在拋物線上．

由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)P2與點(diǎn)P4關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∴P4的坐標(biāo)為（6，2），

當(dāng)點(diǎn)P3位于點(diǎn)C處時(shí)，兩三角形全等，所以點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（0，﹣），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）時(shí)，以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似．

【解析】（1）令y=0可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，令x=0可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作M點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣2的對(duì)稱點(diǎn)M′，當(dāng)N（﹣2，N）在直線M′B上時(shí)，MN+BN的值最小；
（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長度，然后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握軸對(duì)稱-最短路線問題和相似三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．