Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)0是BC的中點(diǎn)，D為AB上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)DO到E，且OE=OD，連接CE．
（1）如圖2，若D為AB的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形EDAC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如圖3，若∠A=60°，∠BOD=30°，四邊形EDAC是等腰梯形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若AC=15，AB=25，請(qǐng)?jiān)趫D4中作出點(diǎn)D的位置使四邊形的EDAC周長(zhǎng)最小，請(qǐng)補(bǔ)全圖形并求出四邊形的EDAC的最小周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）可先證△COE≌△BOD，得出CE=BD，∠E=∠EDB，∴CE∥AB，結(jié)合D為中點(diǎn)，得CE=AD，由平行四邊形判別定理可得EDAC為平行四邊形．
（2）先證四邊形EDAC為梯形，再求出∠B的度數(shù)，證明∠A=∠EDA即可得出四邊形EDAC是等腰梯形．
（3）根據(jù)圖1、2、3可知，CE與BD的等長(zhǎng)的，所以只有當(dāng)ED是最小的，才會(huì)使得四邊形EDAC的周長(zhǎng)最小，故只有當(dāng)ED⊥AB時(shí)才會(huì)令四邊形EDAC周長(zhǎng)最小．

解答：解：（1）點(diǎn)0是BC的中點(diǎn)，即OC=OB，又OE=OD，∠EOC=∠DOB，∴△COE≌△BOD．
∴CE=DB，∠E=∠EDB，
∴CE∥AB，而D為AB的中點(diǎn)，
∴CE=AD，由平行四邊形判別定理可得EDAC為平行四邊形．

（2）由（1）可知CE∥AB，
∴四邊形EDAC是梯形，
在Rt△ABC中，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠BOD=30°，
∴∠EDA=60°=∠A，
∴四邊形EDAC是等腰梯形．

（3）根據(jù)圖1、2、3可知，CE與BD的等長(zhǎng)的，所以只有當(dāng)ED是最小的，才會(huì)使得四邊形EDAC的周長(zhǎng)最小，故只有當(dāng)ED⊥AB時(shí)才會(huì)令四邊形EDAC周長(zhǎng)最�。�
對(duì)于Rt△ABC，由勾股定理求得BC=20，
∴BO=10
∵∠B=∠OCE，∠ODB=∠E=90°，
∴△BOD∽△BAC，
∴

BO

BA

=

OD

AC

，可求得，OD=6，
∴ED=12，
四邊形EDAC周長(zhǎng)為：15+25+12=52．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道典型的綜合題，主要考查梯形的相關(guān)知識(shí)以及等腰梯形的判定定理，考生們應(yīng)該多注意發(fā)散思維的運(yùn)用，平時(shí)注意觀察類似題目的解法．