Question

【題目】已知：正方形ABCD，∠EAF＝45°．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，連接EF，求證：EF＝BE+DF；

童威同學(xué)是這樣思考的，請你和他一起完成如下解答：證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABG，所以△ADF≌△ABG．

（2）如圖，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，且BN＝DM．當(dāng)點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，連接EF，探究三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在對角線BD、邊CD上．若FC＝2，則BE的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF2＝BE2+DF2，證明見解析；（3）BE＝.

【解析】

（1）按照題目給的思路，由△ADF≌△ABG推出AF=AG，DF=BG，∠DAF=∠BAG，得到∠EAG=∠EAF．注意要證明G、B、E三點(diǎn)共線，才能證得△EAG≌△EAF．把EF轉(zhuǎn)化到EG=BG+BE=DF+BE，得證．
（2）把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABH，證明過程跟（1）類似，證得△EAH≌△EAF，把EF轉(zhuǎn)化到EH，然后利用BN=DM證明四邊形BMDN為平行四邊形得∠ABE=∠FDM，得∠EBH=∠ABH+∠ABE=∠ADF+∠MDN=90°，由EH2=BE2+BH2得EF2=BE2+DF2．
（3）作為填空題，可把點(diǎn)E、F移動到特殊位置思考，如F與D重合時(shí)，則E為BD中點(diǎn)，易得BE=BD，又BD=CD（即CF），得答案為．由∠EAF=∠EDF=45°聯(lián)想到點(diǎn)A、D、F、E四點(diǎn)共圓，且AF為直徑，所以∠AEF=90°，△AEF為等腰直角三角形，故有AE=EF=EC，過點(diǎn)E作EM⊥CF于M即有M為CF中點(diǎn)．考慮到BE為正方形對角線上的一段，過點(diǎn)E作EN⊥BC構(gòu)造等腰直角△BEN，且EN=CM，則BE=EN=CM=．

（1）證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABG，

∴△ADF≌△ABG,

∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG.

∵正方形ABCD,

∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD，

∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直線上.

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，

即∠EAG＝∠EAF.

在△EAG與△EAF中，

，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴EG＝EF.

∵BE+DF＝BE+BG＝EG，

∴EF＝BE+DF；

（2）EF2＝BE2+DF2，證明如下：

將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABH，（如圖2），

∴△ADF≌△ABH，

∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，

即∠EAH＝∠EAF，

在△EAH與△EAF中，

,

∴△EAH≌△EAF（SAS）,

∴EH＝EF.

∵BN＝DM，BN∥DM,

∴四邊形BMDN是平行四邊形,

∴∠ABE＝∠MDN,

∴∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝∠ADM＝90°,

∴EH2＝BE2+BH2，

∴EF2＝BE2+DF2，

（3）作△ADF的外接圓⊙O，連接EF、EC，過點(diǎn)E分別作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如圖3），

∵∠ADF＝90°，

∴AF為⊙O直徑.

∵BD為正方形ABCD對角線，

∴∠EDF＝∠EAF＝45°，

∴點(diǎn)E在⊙O上，

∴∠AEF＝90°，

∴△AEF為等腰直角三角形，

∴AE＝EF.

在△ABE與△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE，

∴CE＝EF.

∵EM⊥CF，CF＝2，

∴CM＝CF＝1，

∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，

∴四邊形CMEN是矩形，

∴EN＝CM＝1，

∵∠EBN＝45°，

∴BE＝EN＝，

故答案為：.