Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=2，AD=4，點(diǎn)M，點(diǎn)N分別在邊BC，CD上，則△AMN周長(zhǎng)的最小值為（　�。�

• A． 3$\sqrt{7}$
• B． 4$\sqrt{7}$
• C． 2$\sqrt{7}$+6
• D． 11

Answer 1

分析 根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出最短路線，再利用勾股定理，求出即可．

解答 解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值，作A′H⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于H，
∴AA′=2AB=4，AA″=2AD=8，∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
則Rt△A′HA中，∵∠EAB=120°，∴∠HAA′=60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AA′=2，
∴A′H=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
A″H=2+8=10，
∴A′A″=$\sqrt{A′{H}^{2}+A″{H}^{2}}$=4$\sqrt{7}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．