Question

10．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c-2（a≠0）的圖象如圖所示，頂點為（-1，0），則下列結(jié)論：
①abc＜0；②b²-4ac=0；③a＜-2；④4a-2b+c＜0．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①首先根據(jù)拋物線開口向下，可得a＜0；然后根據(jù)對稱軸在y軸左邊，可得b＜0；最后根據(jù)c-2＜-2可得c＜0，據(jù)此判斷出abc＜0即可．
②根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，可得△=0，即b²-4a（c-2）=0，b²-4ac=-8a＜0，據(jù)此解答即可．
③首先根據(jù)對稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，可得b=2a，然后根據(jù)b²-4ac=-8a，確定出a的取值范圍即可．
④根據(jù)對稱軸是x=-1，而且x=0時，y＜-2，可得x=-2時，y＜-2，據(jù)此判斷即可．

解答 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸在y軸左邊，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸的下方，
∴c-2＜-2，
∴c＜0，
∴abc＜0，
∴結(jié)論①正確；

∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c-2的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=0，
即b²-4a（c-2）=0，
∴b²-4ac=-8a＞0，
∴結(jié)論②不正確；

∵對稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵b²-4ac=-8a，
∴4a²-4ac=-8a，
∴a=c-2，
∵c＜0，
∴a＜-2，
∴結(jié)論③正確；

∵對稱軸是x=-1，而且x=0時，y＜-2，
∴x=-2時，y＜-2，
∴4a-2b+c-2＜-2，
∴4a-2b+c＜0．
∴結(jié)論④正確．
綜上，可得正確結(jié)論的個數(shù)是3個：①③④．
故選：C．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．