Question

已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．
①直接寫(xiě)出t=1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值．
（2）當(dāng)k=-

3

4

時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2），
①求CD的長(zhǎng)；
②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時(shí)，h的值最大？

Answer 1

分析：（1）①由題意可得；
②由題意得到關(guān)于t的坐標(biāo)．按照兩種情形解答，從而得到答案．
（2）①以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線，解得關(guān)于t的根，又由過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC∽△AOB從而解得．
②先求得三角形COD的面積為定值，又由Rt△PCO∽R(shí)t△OAB，在線段比例中t為

36

25

是，h最大．

解答：解：（1）①C（1，2），Q（2，0）
②由題意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分兩種情況討論：
情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；

（2）①由題意得：C（t，-

3

4

t+3），
∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是y=(x-t)2-

3

4

t+3，
由(x-t)2-

3

4

t+3=-

3

4

x+3，
即（x-t）²+

3

4

（x-t）=0，
∴（x-t）（x-t+

3

4

）=0，
解得x1=t，x2=t-

3

4

．
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°，
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴

DE

AO

=

CD

BA

，
∵AO=4，AB=5，DE=t-(t-

3

4

) =

3

4

，
∴CD=

DE×BA

AO

=

3 4 ×5

4

=

15

16

，
②∵CD=

15

16

，CD邊上的高=

3×4

5

=

12

5

，
∴S△COD=

1

2

×

15

16

×

12

5

 =

9

8

，
∴S_△COD為定值．
要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短，因?yàn)楫?dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為

12

5

，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽R(shí)t△OAB，
∴

OP

BO

=

OC

BA

，OP=

OC×BO

BA

=

12 5 × 3

5

=

36

25

，
即t=

36

25

，
∴當(dāng)t為

36

25

秒時(shí)，h的值最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，（1）①由題意知P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）代入，分兩種情況解答．（2）①以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的函數(shù)式，設(shè)法代入關(guān)于t的方程，又由△DEC∽△AOB從而解得．②通過(guò)求解可知三角形COD的面積為定值，又由Rt△PCO∽R(shí)t△OAB，在線段比例中t為

36

25

時(shí)，h最大．從而解答．