Question

【題目】Rt△ABC中，∠C＝90°，點D，E分別是△ABC邊AC，BC上的點，點P是一動點．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α.

(1)若點P在線段AB上，如圖①所示，且∠α＝50°，則∠1＋∠2＝________°；

(2)若點P在邊AB上運動，如圖②所示，則∠α，∠1，∠2之間的關(guān)系為：____________；

(3)若點P運動到邊AB的延長線上，如圖③所示，則∠α，∠1，∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；

(4)若點P運動到△ABC形外，如圖④所示，則∠α，∠1，∠2之間的關(guān)系為：____________．

Answer 1

【答案】(1)140;(2) 90°＋∠α.（3）90°＋∠2＋∠α.；（4）90°＋∠1－∠α.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義，得出∠1+∠2=∠C+∠α，進(jìn)而得出即可；

（2）利用（1）中所求的結(jié)論得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系即可；

（3）利用三角外角的性質(zhì)，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；

（4）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系．

試題分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，

∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，

∵∠C＝90°，∠α＝50°，

∴∠1＋∠2＝140°，

故答案為：140；

（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，

∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.

故答案為：∠1＋∠2＝90°＋∠α.

（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如圖③，

設(shè)DP與BE的交點為M，

∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，

∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.

（4）如圖④，

設(shè)PE與AC的交點為F，

∵∠PFD＝∠EFC，

∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，

∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，

∴∠2＝90°＋∠1－∠α.

故答案為：∠2＝90°＋∠1－∠α