Question

在平面直角坐標(biāo)中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線y=

k

x

與直線y=kx（k≥1）的交點(diǎn)，連接OP，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

2

）時(shí)，OP的長(zhǎng)是

 

；要使OP的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

分析：已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

2

），運(yùn)用勾股定理可直接求出OP的長(zhǎng)；如果設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），那么OP=

x2+y2

，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，當(dāng)x=y時(shí)，x²+y²有最小值，即OP有最小值，又k的最小值是1，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

2

），
∴OP=

12+( 2 )2

=

3

；
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則OP=

x2+y2

，
∵x²+y²≥2xy，
∴當(dāng)x=y時(shí)，x²+y²有最小值，
又k≥1，即k的最小值是1，
解方程組

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，1）或（-1，-1）．
故答案為：

3

，（1，1）或（-1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，不等式等知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．