Question

在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O₁（-4，0），半徑為8的⊙O₁與x軸交于A、B，過A作直線l與x軸負(fù)方向成60°角，且交y軸于點(diǎn)C，以點(diǎn)O₂（13，5）為圓心的圓與x軸切于點(diǎn)D．
（1）求直線l的解析式；
（2）將⊙O₂以每秒1個單位長的速度沿x軸向左平移，當(dāng)⊙O₂第一次與⊙O₁外切時，求平移的時間．

Answer 1

分析：（1）求直線的解析式，可以先求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)⊙O₂平移t秒后到⊙O₃處與⊙O₁第一次外切于點(diǎn)P，⊙O₃與x軸相切于D₁點(diǎn)，連接O₁O₃，O₃D₁．在直角△O₁O₃D₁中，根據(jù)勾股定理，就可以求出O₁D₁，進(jìn)而求出D₁D的長，得到平移的時間．

解答：解：（1）由題意得OA=|-4|+|8|=12，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-12，0）．
∵在Rt△AOC中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12

3

．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-12

3

）．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
由l過A、C兩點(diǎn)，
得

-12 3 =b 0=-12k+b

，解得

b=-12 3 k=- 3

∴直線l的解析式為：y=-

3

x-12

3

．

（2）如圖，設(shè)⊙O₂平移t秒后到⊙O₃處與⊙O₁第一次外切于點(diǎn)P，⊙O₃與x軸相切于D₁點(diǎn)，連接O₁O₃，O₃D₁．
則O₁O₃=O₁P+PO₃=8+5=13．
∵O₃D₁⊥x軸，∴O₃D₁=5，
在Rt△O₁O₃D₁中，O1D1=

O1 O 2 3 -O3 D 2 1

=

132-52

=12．
∵O₁D=O₁O+OD=4+13=17，∴D₁D=O₁D-O₁D₁=17-12=5，
∴t=

5

1

=5（秒）．
∴⊙O₂平移的時間為5秒．

點(diǎn)評：本題綜合了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及圓的位置關(guān)系，其中兩圓相切時的輔助線的作法是經(jīng)常用到的．