Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng)，路徑為O→A→B→C，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．作直線CP．
（1）求梯形OABC的面積；
（2）當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí)，求直線CP的解析式；
（3）當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不要求過(guò)程，只需寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥OA于F，易得四邊形CEFB是矩形，△OCE與△ABF是等腰直角三角形，繼而可求得OA，CE的長(zhǎng)，即可求得梯形OABC的面積；
（2）由直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線CP的解析式；
（3）分別從點(diǎn)P在OA上，在AB上，在BC上去分析求解，即可求得答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥OA于F，
∵CB∥OA，
∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，
∴四邊形CEFB是矩形，
∴EF=BC=6，BF=CE，
∵∠COA=45°，
∴CE=OE=OC•sin∠COE=4×

2

2

=2

2

，
∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴∠BAO=∠COA=45°，
同理可得：BF=AF=2

2

，
∴OA=OE+EF+AF=6+4

2

，
∴S_梯形OABC=

1

2

（BC+OA）•CE=

1

2

×（6+6+4

2

）×2

2

=12

2

+8；

（2）∵直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分，
∴S_△OPC=

1

2

S_梯形OABC=6

2

+4，
∵S_△OPC=

1

2

OP•CE，
∴

1

2

×OP×2

2

=6

2

+4，
∴OP=6+2

2

，
∴點(diǎn)P（6+2

2

，0），
∵點(diǎn)C（2

2

，2

2

），
設(shè)直線CP的解析式為：y=kx+b，
則

(6+2 2 )k+b=0 2 2 k+b=2 2

，
解得：

k=- 2 3 b=2 2 + 4 3

，
∴直線CP的解析式為：y=-

2

3

x+2

2

+

4

3

；

（3）①當(dāng)P在OA上時(shí)，
若OP=OC時(shí)，OP=4，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）；
若OC=CP時(shí)，則OE=PE=2

2

，
即OP=4

2

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4

2

，0）；
若CP=OP時(shí)，
∵∠COA=45°，
∴∠PCO=∠COA=45°，
∴∠OPC=90°，
∴OP=OC•cos∠COA=2

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

2

，0）；
②當(dāng)P在AB上時(shí)，OP＞OB，PC＜AC，
∵OB=AC，
∴OP＞PC，
∵PC＞BC＞OC，
∴OP＞PC＞OC，
∴此時(shí)不存在點(diǎn)P使得△OCP是等腰三角形；
③當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí)，
若CP=OC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

2

+4，2

2

）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，0），（4

2

，0），（2

2

，0），（2

2

+4，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等腰梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．