Question

如圖，

PA

=

PB

，C、D分別是半徑OA、OB的中點(diǎn)，連接PC、PD交弦AB于E、F兩點(diǎn)．
求證：（1）PC=PD；（2）PE=PF．

Answer 1

分析：（1）本題可通過全等三角形來證PC=PD，連接PO，那么證明三角形POC和POD就是解題的關(guān)鍵．已知的條件有OC=OD（C、D分別是半徑OA、OB的中點(diǎn)），一條公共邊OP，我們只要再證得這兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可得出結(jié)論．我們發(fā)現(xiàn)弧PA=弧PB，因此根據(jù)圓心角定理可得出∠COP=∠POD，因此就湊齊了三角形全等的所有條件；
（2）可通過角相等來證線段相等，那么證明∠PEF=∠PFE是關(guān)鍵，也就是證明∠AEC=∠BFD，題中已知了OA=OB，因此∠A=∠B，只要證得∠PCO=∠PDO就行了．而這兩個(gè)角正好是（1）中證得的全等三角形的對應(yīng)角，因此這兩角就相等了．

解答：證明：（1）連接PO，
∵

PA

=

PC

，
∴∠POC=∠POD．
∵C、D分別是半徑OA、OB的中點(diǎn)，
∴OC=OD．
∵PO=PO，
∴△PCO≌△PDO．
∴PC=PD．

（2）∵△PCO≌△PDO，
∴∠PCO=∠PDO．
∵OA=OB，
∴∠A=∠B．
∴∠AEC=∠BFD．
∴∠PEF=∠PFE．
∴PE=PF．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓心角定理，全等三角形的判定等知識點(diǎn)，通過全等三角形得出線段或角相等是本題解題的關(guān)鍵所在．