分析 (1)首先證明OD是線段BC的垂直平分線,推出DC=DB,推出∠DCB=∠DBC,由OC=OB,推出∠OCB=∠OBC,推出∠DCO=∠DCB+∠OCB=∠DBC+∠OBC=∠DBO,由DB是切線,推出OB⊥BD,推出∠DBO=90°,推出∠DCO=90°,即可解決問題.
(2)由△ACF∽△EHF,得$\frac{AC}{EH}$=$\frac{CF}{FH}$=$\frac{AF}{EF}$=3,設(shè)EH=a,則AC=3a,OH=$\frac{3}{2}$a,AB=5a,BC=4a,CH=BH=2a,F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$a,CF=$\frac{3}{2}$a,在Rt△EFH中,根據(jù)EF2=FH2+EH2,列出方程即可解決問題.
解答 (1)證明:如圖,連接OC,OD與BC交于點(diǎn)H.
∵OD⊥BC,
∴CH=HB,即OD垂直平分線段BC,
∴DC=DB,
∴∠DCB=∠DBC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠DCO=∠DCB+∠OCB=∠DBC+∠OBC=∠DBO,
∵DB是切線,
∴OB⊥BD,
∴∠DBO=90°,
∴∠DCO=90°,
∴DC⊥OC,
∴CD是⊙O的切線.
(2)解:∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠OHB=∠ACB=90°,
∴OE∥AC,
∴△ACF∽△EHF,
∴$\frac{AC}{EH}$=$\frac{CF}{FH}$=$\frac{AF}{EF}$=3,設(shè)EH=a,則AC=3a,OH=$\frac{3}{2}$a,AB=5a,BC=4a,CH=BH=2a,F(xiàn)H=$\frac{1}{2}$a,CF=$\frac{3}{2}$a,
在Rt△EFH中,∵EF2=FH2+EH2,
∴1=$\frac{1}{4}$a2+a2,
∴a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴CF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,屬于中考?碱}型.
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