Question

23、取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．

①當(dāng)α為多少度時(shí)，AB∥DC？
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時(shí)，α為多少度？
③連接BD，當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

分析：（1）若AB∥DC，則∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時(shí)，α=45°，
（3）連接CC′，在△BDO和△OCC′中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠2=∠3+∠4，所以∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠2+∠α+∠1=∠3+∠4+∠α=180°-∠ACD-∠AC′B=180°-45°-30°=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．

解答：解：（1）如圖②，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
所以當(dāng)α=15°時(shí)，AB∥DC；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時(shí)，α=45°，
（3）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．
證明：連接CC′，在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠2+∠α+∠1=∠3+∠4+∠α
=180°-∠ACD-∠AC′B，
=180°-45°-30°=105°，
∴當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了三角形的內(nèi)角和定理．