Question

【題目】已知，拋物線(xiàn)C1:y=- x2+mx+m+

（1）①當(dāng)m=1時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_______;②當(dāng)m=2時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為________;

（2）①無(wú)論m取何值，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P________;②隨著m的取值的變化，頂點(diǎn)M（x，y）隨之變化，y是x的函數(shù)，記為函數(shù)C2 ， 則函數(shù)C2的關(guān)系式為：________；

（3）如圖，若拋物線(xiàn)C1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，①直接寫(xiě)出此時(shí)拋物線(xiàn)C1的函數(shù)關(guān)系式；②請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出頂點(diǎn)M滿(mǎn)足的函數(shù)C2的大致圖象，在x軸上任取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作平行于y軸的直線(xiàn)l分別交C1、C2于點(diǎn)A、B，若△PAB為等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（4）二次函數(shù)的圖象C2與y軸交于點(diǎn)N，連接PN，若二次函數(shù)的圖象C1與線(xiàn)段PN有兩個(gè)交點(diǎn)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）（3，0）；（﹣1，0）（5，0）；（2）（-1，0）； y= (x+1)；（3）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）或（-3，0）；（4）- ＜m≤0

【解析】

（1）①把m=1,y=0分別代入拋物線(xiàn)C1，得到一個(gè)一元二次方程，解方程即可求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)。其縱坐標(biāo)都為0；②把①中的m=1改為m=2,方法相同；

（2）把二次函數(shù)的C1∴化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)為：M（m，(m+1)2）∴函數(shù)C2的關(guān)系式為 y= (x+1)2；

（3）①當(dāng)拋物線(xiàn)C1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，即頂點(diǎn)在x軸上，此時(shí)M的縱坐標(biāo)為0，由此可得 則m， 把m代入C1解析式即可；

②分析C1、C2 的解析式可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，可據(jù)此畫(huà)函數(shù)的圖像；

（4） 若二次函數(shù)的圖象C1與線(xiàn)段PN有兩個(gè)交點(diǎn)，則其對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段PN一定有交點(diǎn)，據(jù)此即可求出答案。

（1）①把m=1,y=0分別代入拋物線(xiàn)C1，得到一個(gè)一元二次方程，解方程即可求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)。其縱坐標(biāo)都為0；②把①中的m=1改為m=2,方法相同；

（2）把二次函數(shù)的C1∴化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)為：M（m，(m+1)2）∴函數(shù)C2的關(guān)系式為 y= (x+1)2；

（3）解：如圖所示，

∵拋物線(xiàn)C1：y=- x2+mx+m+ 頂點(diǎn)在x軸，則m=-1，

∴拋物線(xiàn)C1：y=- x2-x- =- （x+1）2 ， P（-1，0），由②知，函數(shù)C2的關(guān)系式為y= (x+1)2；∴拋物線(xiàn)C1與C2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∵△PAB為等腰直角三角形，∴直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)P ， 且PC=BC=AC ， 設(shè)B（n ， (n+1)2），∴C（n ， 0），BC= (n+1)2 ， ∴PC=|n+1|，∴ (n+1)2=|n+1|，∴n=-1（舍）或n=1或n=-3．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）或（-3，0）

（4）解：- ＜m≤0

解：（1）①（﹣1，0）（3，0）；②（﹣1，0）（5，0）；（2）①∵拋物線(xiàn)C1：y=- x2+mx+m+ =- x2+m（x+1）+ ．

∴當(dāng)x+1=0時(shí)，無(wú)論m為何值，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P ， ∴x=-1，y=0，∴定點(diǎn)P（-1，0），故答案為：-1，0；

②拋物線(xiàn)C1：y=- x2+mx+m+ =- (x-m)2+ (m+1)2 ．

∴M（m， (m+1)2），∴函數(shù)C2的關(guān)系式為y= (x+1)2；故答案為：y= (x+1)2