Question

17．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連接AF．
（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為4，AF=2，求PF的長．

Answer 1

分析 （1）直接利用切線的性質結合全等三角形的判定與性質得出答案；
（2）利用切線的性質結合三角形面積求法以及勾股定理得出答案．

解答 解：（1）AF為圓O的切線，
理由為：
連接OC，
∵PC為圓O切線，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OF}\\{∠AOF=∠COF}\\{OA=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF⊥OA，OA為圓O的半徑，
則AF為圓O的切線；

（2）設PF=x，由（1）知OC⊥PC，OP⊥AF，
∴S_△POF=$\frac{1}{2}$•PF•OC=$\frac{1}{2}$•OP•AF，
且⊙O的半徑為4，AF=2，
∴4x=2OP，
∴OP=2x，則AP=2x-4，
∴在Rt△APF中，
2²+（2x-4）²=x²，
解得：x=2（舍去）或$\frac{10}{3}$，
∴PF=$\frac{10}{3}$．

點評 此題主要考查了切線的性質以及勾股定理和全等三角形的判定與性質，正確應用勾股定理是解題關鍵．