Question

觀察下列各個等式：1²=1，1²+2²=5，1²+2²+3²=14，1²+2²+3²+4²=30，…．

（1）你能從中推導(dǎo)出計算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式嗎？請寫出你的推導(dǎo)過程；

（2）請你用（1）中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題：

已知：如圖，拋物線y=﹣x²+2x+3與x、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B，將線段OAn等分，分點(diǎn)從左到右依次為A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n﹣1，分別過這n﹣1個點(diǎn)作x軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n﹣1，設(shè)△OBA₁、△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…、△A_n﹣1B_n﹣1A的面積依次為S₁、S₂、S₃、S₄、…、Sn．

①當(dāng)n=2013時，求s₁+s₂+s₃+s₄+…+s₂₀₁₃的值；

②試探究：當(dāng)n取到無窮無盡時，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么？

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由n³﹣（n﹣1）³=3n²﹣3n+1公式的n的式子相加推導(dǎo)出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．

（2）①結(jié)合拋物線和（1）中推導(dǎo)出的公式求出S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₃的值；

②當(dāng)n取到無窮無盡時，取極值，求得三角形的面積．

【解答】解：（1）∵n³﹣（n﹣1）³=3n²﹣3n+1，∴當(dāng)式中的n從1、2、3、…依次取到n時，就可得下列n個等式：

1³﹣0³=3×1²﹣3×1+1，2³﹣1³=3×2²﹣3×2+1，3³﹣2³=3×3²﹣3×3+1…n³﹣（n﹣1）³=3n²﹣3n+1，

將這n個等式的左右兩邊分別相加得：n³=3（1²+2²+3²+…n²）﹣3（1+2+3+…+n）+n，

即1²+2²+3²+…n²==．

（2）先求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），∴點(diǎn)A₁（，0）A₂（，0）A₃（，0）A₄（，0）…A_n﹣1（，0），

點(diǎn)B₁（，﹣（）²+2（）+3），B₂（，﹣（）²+2（）+3）…B_n﹣1（，﹣[]²+2+3），

∴S₁=，S₂=，S₃=…S_n=

∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=

==．

∴①當(dāng)n=2013時，S₁+S₂+S₃+S₄+…S₂₀₁₃=；

②∵S₁+S₂+S₃+…S_n==+﹣，

∴當(dāng)n取到無窮無盡時，上式的值等于，即所有三角形的面積和等于．

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用立方差公式推導(dǎo)是解題關(guān)鍵，（2）利用等分得出A點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)在函數(shù)圖象上得出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用推導(dǎo)公式求出面積的和，計算是解題關(guān)鍵．