Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-

3

4

x+6與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)，AE是∠BAO的平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AE，垂足為E，過(guò)E作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M．
（1）求證：M為OB的中點(diǎn)；
（2）求以E為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線(xiàn)解析式．

Answer 1

解法一：
（1）證明：延長(zhǎng)BF交y軸于F點(diǎn)．如圖：
∵AE是∠BAO的平分線(xiàn)，
∴∠1=∠2，
∵BE⊥AE，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，（1分）
∴BE=FE，（1分）
∵M(jìn)E∥AF，
∴

OM

MB

=

EF

BE

，（1分）
∴OM=MB，即M為OB的中點(diǎn)；（1分）

（2）∵一次函數(shù)y=-

3

4

x+6與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OM=4，AB=AF=10，（2分）
∴OF=4，
∴ME=2，（1分）
∴E（4，-2），（1分）
設(shè)以E為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-4）²-2，（1分）
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，6），
∴a=

1

2

，（1分）
即以E為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線(xiàn)解析式為y=

1

2

（x-4）²-2或y=

1

2

x²-4x+6；

解法二：
如圖2，過(guò)H作HG⊥AB于G點(diǎn)，（1分）
∵一次函數(shù)y=-

3

4

x+6與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)
∴A（0，6），B（8，0），（1分）
設(shè)OH=x，∵∠1=∠2，
∴OH=HG=x，HB=8-x（1分）
∴在Rt△HGB中，得x=3（1分）
∴OH=3，HB=5
由△AOH∽△BEH得：HE=

5

，BE=2

5

，（2分）
∴ME=

HE•BE

HB

=2，HM=1，
∴OM=4，（2分）
∴M為OB的中點(diǎn)，
∴E（4，-2），（1分）
設(shè)以E為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-4）²-2，（1分）
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，6），
∴a=

1

2

，（1分）
即以E為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線(xiàn)解析式為y=

1

2

（x-4）²-2或y=

1

2

x²-4x+6．